Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.
Скачать (прямая ссылка):
величина должна равняться скорости волны, т. е.
Uhjki ,= (gk-1 th ккг)1/2, где к = 2п%, (ЮЗ)
Часть 2. Нелинейные аффекты
561
если X - длина находящихся позади прыжка волн со стационарными
относительно него гребнями. Скорость оттока их энергии назад по отношению
к гребням, т. е. отнесенную к единице ширины величину (45), можно
приравнять требуемой скорости потери энергии (101). По линейной теории
это дает для волн с амплитудой а соотношение
р0Ug (ht - h0)s/(4hi) = -j p0ga2 (Uh0/hi) [1 - 2kht (sh 2khi)~l]. (104)
Численное решение уравнений (102) - (104) дает результат, который с
точностью до 2 значащих цифр имеет вид
kh± = 3 [(^ - h0)/(2h0)V/\ athi = 3-V2 (^ _ h0)/h0. (105)
Таким образом, предсказывается, что амплитуда а составляет примерно 0,6
высоты прыжка hx - h0.
Среднее значение наблюдаемых амплитуд близко к 0,6 (ht - h0), но их
индивидуальные значения распределяются довольно случайным образом от 0,3
(hx - h0) до 0,9 (ht - h0). Думается, что эта изменчивость нуждается в
объяснении, так как измерения не слишком трудны.
Действительно, результаты (105) дают значение
аХт\ = 8я2/35/2 = 5,1. (106)
Рис. 116 показывает, дто оно недостаточно мало, чтобы можно было
пренебречь нелинейными эффектами. Таким образом, волны за прыжком должны
быть кноидальными. Фактически наблюдается, что они имеют кноидальные
волновые профили и их длина, скорость волны и амплитуда подчиняются
соотношениям для кноидальных волн.
Довольно удивительно, что пересчет с использованием полной нелинейной
теории кноидальных волн показывает, что скорость оттока энергии назад по
отношению к гребням не может принимать полное значение (101) для какой-
либо амплитуды волны. Однако она может принимать любое меньшее значение!
Конкретно, значения a!{hi - h0), равные 0,6 (полученные согласно линейной
теории или усредненным результатам измерений), соответствуют скорости
оттока энергии, составляющей 0,8 ее требуемой потери. Следовательно, они
соответствуют гидравлическому прыжку, в котором за счет действия вязкости
или вспенивания рассеивается 20% требуемой потери энергии.
По этой нелинейной теории большой разброс наблюдаемых значений величины
al(hi -г- h0) от 0,3 до 0,9 в ундулярном прыжке соответствует большому
разбросу значений потери энергии за счет вязкости и (или) вспенивания}
встречающихся
36-01100
562
Эпилог
при различных условиях эксперимента - от 75 до 5% требуемых полных
потерь. Для еще более сильных прыжков вспенивание является интенсивным и
отвечает за почти всю требуемую потерю энергии.
Гидравлические прыжки часто наблюдаются в ручьях как стационарные
явления. Гидравлическая теория показывает, что стационарное течение,
скорость которого превосходит скорость длинных волн, может замедляться до
скорости, которая меньше скорости длинных волн, только разрывным образом
- посредством гидравлического прыжка. Обычно это проявляется как
вспенивание (см. рис. 49); однако ундулярный прыжок также может
возникнуть, если начальный избыток скорости был незначителен.
В кратком обзоре теории весьма длинных волн в каналах, приведенном выше,
не слишком подчеркивается важность уединенной волны, которая в этом
контексте выглядит не более чем экспериментальной диковинкой, едва ли
наблюдаемой в природе. В курсах по уравнению Кортевега - де Фриза
показывается, однако, что для приложений, в которых диссипация
отсутствует, решение (99), часто называемое "солитоном", может играть
ключевую роль. Действительно, можно доказать, что произвольное начальное
движение в конце концов распадается на "ансамбль солитонов"...
Для каждого упомянутого в этом эпилоге свойства поверхностных
гравитационных волн существует соответствующей свойство внутренних волн.
Амплитуда граничных волн между двумя жидкостями не может превышать
определенного значения; ее дальнейший рост невозможен, так как начинается
быстрая диссипация энергии из-за взаимного перемешивания двух жидкостей,
аналогичного вспениванию. Для непрерывно стратифицированных жидкостей
возможно установление равновесия между дисперсионными и нелинейными
эффектами; в частности, были использованы мощные методы нелинейного
анализа, чтобы доказать, что и в этом случае может существовать
уединенная волна.
Больше того, гидравлический прыжок в стратифицированной жидкости может
быть очень эффектным. Там, где поток холодного воздуха, стекающего с
подветренной стороны горной цепи, развивает скорость, превосходящую
скорость волн, длинных по сравнению с глубиной потока, его замедление
может осуществляться в громадном скачке, подобном знаменитой боре (рис.
117).
В заключение отметим еще более сложную область теорий нелинейной
дисперсии,' в которой развиваются исследования пбтёнциалвнб очень большой
важности. Здесь рассматриваются
Часть 2. Нелинейные эффекты
563
Рис. 117. Бора. Воздух, стекающий с горной цепи (здесь справа налево),
приобретает большую скорость и затем внезапно замедляется подобно тому,
как происходит в стационарном гидравлическом прыжке (видно в левой части
