Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.
Скачать (прямая ссылка):
волны, имеющую частоту со и волновую скорость с, которая падает на
сужение длины I, причем со Не мало. Вывести для доли отраженной волновой
энергии следующую формулу:
(AJa)2 (mile)2
4 + (AjA)2(al/c)2 '
где А! - площадь поперечного сечения сосуда без сужения и A JA - среднее
значение А}/А в области сужения.
5. Для грубой оценки приливно-отливных движений западную часть
Средиземного моря можно считать сужением (Гибралтарский пролив)
эффективной длиной 50 км и площадью поперечного сечения 4 км2,
продолжающимся на восток в виде длинного канала шириной 160 км и площадью
поперечного сечения 160 км2, который еще дальше на восток достаточно
постепенно расширяется, чтобы можно было пренебречь отражением энергии
прилива. Показать, что для этой модели со стороны Средиземного моря
амплитуда перепада уровней прилива и отлива с периодом 12,5 часов в
Гибралтарском проливе будет примерно в три раза меньше, а время высокой
воды наступит^ почти на 2 часа позже, чем со стороны Атлантического
океана. Показать, что дальнейшее уменьшение амплитуды прилива в два раза
будет ожидаться там, где ширина канала увеличивается
Упражнения к главе 2
до 500 км, а площадь поперечного сечения - до 800 км2 (около острова
Майорка).
[Замечание: эта грубая модель позволяет в первом приближении понять,
почему приливы в Средиземном море являются столь умеренными, и дает
хорошую оценку (5 X 106 м3/с) амплитуды флуктуаций объемного расхода в
проливе, но она нуждается в уточнении, учитывающем наличие некоторого
отражения. В действительности амплитуды приливов несколько меньше, а
время запаздывания значительно меньше.]
Распределение площади поперечного сечения А вдоль "экспоненциального"
рупора есть
А = Ах ехр (ах) (х ^ 0).
Показать, что для частот, значительно меньших пороговой частоты, рупор
ведет себя как индуктивность L = р0а"Hlj1, так что его отклик на волну,
падающую;со стороны х < 0, является таким же, как отклик сужения длины
а"1 с постоянным поперечным сечением Ах.
Показать, что для конического рупора не существует пороговой частоты.
Пусть звуковая волна ре = f (t - х/с) распространяется вдоль трубы с
площадью поперечного сечения А, имеющей постоянное значение Ах при х < хх
и равной А гх~[2х2 при х > хх. Показать, что проходящая волна в
коническом рупоре при х > хх имеет избыточное давление
и найти отраженную волну.
Воздух при температуре 20° С в очень длинной трубе постоянного
поперечного сечения, ограниченный слева (при х = 0) поверхностью точно
пригнанного поршня, первоначально находится в покое. Затем поршень быстро
разгоняется (по направлению из воздуха) до скорости и = -II, которая
достигается за время т, когда поверхность поршня находится на расстоянии
х = -I. После этого поршень движется с постоянной скоростью и = -U. Для
любого времени t > т найти протяженность участка трубы, на котором воздух
движется со скоростью и = U. Показать, что она совпадает с протяженностью
участка х ^ -I, если U около 280 м/с. Определить температуру на этом
участке.
Площадь поперечного сечения воды в канале имеет постоянное значение А о в
невозмущенном состоянии и значение Aq -(- bZ, (где Ъ - постоянная) там,
где уровень воды поднимается на высоту ?. Показать, что в простой волне,
распространяющейся вдоль канала, постоянная Бернулли (170) равна с0и +
(3/4) и2, где с0 = (gA о)1/2?)-1/2 - невозмущенная скорость волны, а и -
скорость жидкости. Канал открывается в большой резервуар с постоянной
глубиной Ar и скоростью длинных волн cr= (jAr)1/2. Показать, что волна,
t-x/c
- ОО
Упражнения к главе 2
251
распространяющаяся вдоль прямолинейной стенки резервуара мийо устья
канала, вызывает в канале простую волну. Найти уравнение, связывающее
скорость жидкости в канале непосредственно у его открытого конца и (1) со
скоростью жидкости вне канала иц (1), индуцированной волной в резервуаре.
10. Показать, что вязкое затухание продольных волн в трубах или каналах,
изученное в рамках линейной теории в разд. 2,6, порождает явления,
которые можно описать с помощью введенной позднее в (185) координаты X -
х - c0t следующим образом. Затухание синусоидального сигнала ре = р1 ехр
(-ikX) при этом описывается выражением
Ре ~ Pi ехр [-tkX - е (ifc)1/2!],
где величина
е=т (vc)1/2
пропорциональна длине s твердой части периметра поперечного сечения.
Показать, что если в качестве независимых переменных используются X и t,
то затухание импульса произвольной формы описывается уравнением
dpjdt = - е [д1д{-Х)]11грв.
Вывести отсюда, что теория, учитывающая как слабое нелинейное искажение
формы импульса, так и постепенное затухание в вязком пограничном слое на
твердых стенках, должна быть основана на следующем уравнении, заменяющем
(186):
dv/dt + vdvldX[ = -8 [d/d{-Z)]1/2^; его уравнение можно записать в виде
ОО
["вГ4-*7^' = е 5 ~WV{1' 0 [я (?-Z)]1/2 '
11" Ударные волны для экспериментальных целей часто генерируются с
помощью убарной трубы - устройства, принцип действия которого таков.
