Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.
Скачать (прямая ссылка):
внутренние гравитационные волны. Метеорологами установлено, что
стратификация плотности внутри различных частей атмосферы такова, что
появляются внутренние гравитационные волны, существенно влияющие на
некоторые наблюдаемые процессы. Океанографы в свою очередь показали, что
в частях океана с существенной стратификацией плотности внутренние
гравитацонные волны имеют важное значение. Поскольку сила тяжести, как
возвращающая сила, действует в одном фиксированном направлении, нет
оснований для изотропии (т. е. "равноправия всех направлений") при
распространении гравитационных волн, и было найдено, что внутренние
гравитационные волны являются заметно анизотропными.
256
3. Волны на воде
Существование сплошной среды в жидкой и газообразных фазах допускает
также и совершенно другой тип устойчивого равновесия, когда более тяжелая
среда находится ниже более легкой; например, однородная жидкость (скажем,
вода) отделена горизонтальной поверхностью от находящегося сверху
однородного газа (скажем, воздуха). Тогда плотность меняется разрывным
образом при переходе через некоторую поверхность - "поверхность воды"
(или в общем случае, поверхность раздела жидкости и газа). Возмущения
этого равновесного состояния проявляются в виде поверхностных
гравитационных волн, которые не могут распространяться вдаль от
поверхности: как мы увидим, они удаляются от поверхности не дальше, чем
на расстояние одной длины волны. Лишь в горизонтальных направлениях они
распространяются на расстояния, во много раз большие длины волны. Так как
в поле вертикальной возвращающей силы различные горизонтальные
направления ничем не отличаются, эти волны изотропны в горизонтальном
направлении (все горизонтальные направления их распространения
равноправны). Тем не менее эффективная инерция жидкости, связанная с
зависящей от длины волны глубиной проникновения возмущения, вызывает
дисперсию - зависимость скорости волны от ее длины.
Мы рассмотрим поверхностные гравитационные волны на плоской границе между
водой и воздухом (хотя та же теория применима и для поверхностей раздела
между другими жидкостями и газами). Волны на плоской поверхности воды,
изученные в гл. 2, являются исключительно "длинными" волнами; глубина
воды составляет малую долю длины волны. В случае таких волн возмущения
могут распространяться по всей глубине, и это не нарушает запрета на
проникновение волн на глубину более одной длины волны. Действительно, в
разд. 2.2 установлено, что избыточное давление приблизительно постоянно
по всему поперечному сечению. Для малых возмущений поверхности воды
эффективная инерция жидкости не зависит тогда от длины волны, и волны
являются недиспергирующими. В разд. 3.3 мы снова получим это
распространение без дисперсии как один предельный случай линейной теории
поверхностных гравитационных волн, предсказывающей дисперсию во всех
остальных случаях.
В общей линейной теории гравитационных волн в однородном водоеме
сжимаемость оказывается пренебрежимо малой, так что плотность воды можно
считать постоянной величиной р0. Этот вывод был уже сделан для длинных
волн в разд. 2.2, где показано, что величина изменения Пл ощади
поперечного сечения воды на много порядков превышает величину ее
сжимаемости.
3.1. Поверхностные гравитационные волны
257
Этот результат равносилен утверждению о малости скорости волны с по
сравнению со скоростью звука. Кроме того, в разд. 3.3 мы проверим, что
при данной глубине воды h наибольшей возможной скоростью распространения
волны с является скорость длинных волн (gh)1/2, которая мала по сравнению
со скоростью звука с3 при условии, что
h<g; cfg-1 = (1400 м/с)2 (9,8 м/с2)-1 = 200 км. (1)
Все известные водоемы удовлетворяют этому условию, гарантирующему
возможность пренебрежения сжимаемостью, что и оправдывает использование
приводимого ниже уравнения (5). В этом разделе мы пренебрегаем также
вязкостью и другими диссипативными эффектами, отложив их изучение до
специального разд. 3.5, в котором (как и в разд. 1.13 и 2.7 предыдущих
глав) рассматривается затухание волн на воде.
Еще раз используем обозначения из разд. 2.2; в системе
координат с осью z, направленной вверх от свободной
поверх-
ности, невозмущенное распределение давления определяется уравнением
гидростатики
Ро = Ра - Ро gz, (2)
где ра - атмосферное давление. Избыточное давление, обусловленное
возмущением, определяется как
Ре ~ Р Ро- (3)
Линеаризованное уравнение количества движения может быть записано в виде
р0<?и/<97 = - Vpe- (4)
Так же как в начале гл. 1, в этом уравнении опущен нелинейный инерционный
член u-Vu. "Взяв ротор", мы заключаем, что в рамках линейной теории поле
вихрей не зависит от времени: "Завихренность остается фиксированной,
однако при этом многие другие величины могут распространяться".
"Вращательная часть" поля скоростей, порожденная этим стационарным полем
вихрей, не зависит от времени; ей соответствует избыточное давление ре =
