Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.
Скачать (прямая ссылка):
впереди импульса сжатия. За этим импульсом сжатия движется импульс
разрежения примерно такой же площади, и оба эти импульса вместе образуют
N-волну, включающую две ударные волны интенсивности (288), разделенные
интервалом равномерного падения давления длительностью 2fp.
Экспоненциальный член (в 288) помогает обеспечить значения Р ниже 0,001
для сверхзвуковых транспортных самолетов на характерной высоте
сверхзвукового полета 17 км. Заметим, что интенсивность звукового удара
достигает максимума непосредственно под траекторией полета (где ф = 0) и
спадает До половины этого максимального значения там, где ф = 70°, т. е.
примерно на расстоянии 40 км по обе стороны от траектории.
Продолжительность звукового удара 2tp меняется менее заметно, и ее
типичная величина составляет около 0,5 с.
Чтобы достичь большей точности, могут быть сделаны различные улучшения
приведенного выше приближенного метода расчета. В линейную теорию
дальнего поля может быть внесено усовершенствование: распределение
точечных источников, связанное с потоком массы от каждой точки траектории
полета, который является положительным, когда передняя часть самолета
проходит через нее, и отрицательным после этого, можно сочетать с
распределением вертикальных диполей, связанных с подъемной силой самолета
в воздухе; их дальнее поле имеет направленное распределение,
пропорциональное cos ф, которое (к сожалению) усиливает сигнал в основном
вертикально вниз (ф = 0). С другой стороны, изменение в невозмущенной
скорости звука с0 (которая падает с 340 м/с на земле до приблизительно
300 м/с на высоте полета) приводит к полезному уменьшению интенсивности
звукового удара на землю благодаря возрастанию отношения F"(a;)/F0(0) в
формуле (263). Это обусловлено влиянием множителя с~уг в (246), на
которое накладывают-
248
Упражнения к главе 2
ся изменения в А~\/й (так как лучи преломляются таким образом, что
происходит уменьшение их углов наклона к горизонту, особенно при малых
углах).
Упражнения к главе 2
1. Мы видели, что при анализе распространения одномерных воля нет
необходимости рассчитывать поперечные движения, так как их энергия
слишком мала, чтобы повлиять на распространение. Тем не менее мы
предлагаем читателю попытаться провести такой расчет.
В рамках линейной теории распространения длинных волн вдоль открытых
каналов (разд. 2.2) показать, что продольная скорость и удовлетворяет
уравнению
ди/дх = -btJA о,
где Ъ - ширина свободной поверхности и А0 - невозмущенная площадь
поперечного сечения воды. Вывести из этого первое приближение для
поперечных скоростей v и w, используя выражения
v = dtp/ду и w = 9ф/дг\
•
здесь <32ф/ду2 + <32ф/dz2 принимает значение btJA0, не зависящее от у и
z, в то время как нормальная производная от ф обращается в нуль на
твердой границе поперечного сечения и принимает значение <3фtdz = С, не
зависящее от у, на свободной поверхности z = 0. Заметим, что эти значения
совместны в силу двумерной теоремы о дивергенции (формулы Грина).
Показать, что
Ф=Ф- 6- (К/ (4Л)) (г/2 + г2)
является четной функцией z, удовлетворяющей двумерному уравнению Лапласа
32Ф/ду2 + <32Ф/дг2 = 0,
так что стандартные методы решения двумерного уравнения Лапласа пригодны
для нахождения поперечных движений.
Для полукруглого поперечного сечения использовать полярные координаты
y=r cos0, z=-rsin0 ^О<г<уЬ,О<0<я|, чтобы найти решение в форме
ОО
Ф= У] anr2n cos 2п0.
П- 1
Получить граничное условие для Ф при г = (1/2)6 в виде
дФ/дг = ? (sin 0 - 2it_1) (0 < 0 < it)
и показать, что
• /1 V 1 - 2 п I
ап = -2? b J j[nn(bn*-\)].
Упражнения к главе 2
249
В заключение воспользоваться тем фактом, что первый член ряда для Ф
является главным, чтобы получить очень грубый набросок
линий тока поперечного течения при ? > 0.
2. У разветвления В однородная труба АВ длиной и площадью поперечного
сечения Аг соединяется с двумя однородными трубами; одна из них имеет
площадь поперечного сечения А 2 и длину 12, а другая - площадь А3 и длину
13\ концы обеих труб закрыты. Для звуковых волн в воздухе с постоянными
плотностью ро и скоростью звука с найти эффективную проводимость системы
в сечении А. Показать, что резонансные частоты со удовлетворяют уравнению
3
2 Ап tg(wi"/c) = 0,
71= 1
когда А - закрытый конец. Получить также условие резонанса, когда А -
открытый конец.
3. Показать, что для достаточно длинных волн в воде с плотностью р0
резервуар, в котором горизонтальная поверхность воды имеет площадь S,
ведет себя подобно емкости S/(peg).
Пусть такой резервуар соединен с открытым морем каналом с постоянными
шириной Ъ и глубиной h. При приливной частоте со наблюдается резонанс,
несмотря на то что длина канала только (1/4) itco-1 (gh)V2. Доказать, что
значение S близко к 6co_1 (gh)1/2.
4" Стеноз, который представляет собой любое сужение артерии, может,
например, быть следствием внешнего давления со стороны какого-нибудь
увеличенного органа. Рассмотреть синусоидальную составляющую пульсовой
