Теоретическая физика - Ландау Л.Д.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка):
?(0-^(0) —1!?'(0).
§ 112. Регуляризация интегралов Фейнмана
Рассмотренные в § 110 физические условия перенормировки позволяют, в принципе, получить однозначным образом конечное значение амплитуды всякого электродинамического процесса при ее вычислении в любом приближении теории возмущений.
Ознакомимся прежде всего с характером расходимостей, возникающих в интегралах, написанных непосредственно по диаграммам Фейнмана. Важные указания на этот предмет дает подсчет степеней виртуальных 4-импульсов, входящих в подынтегральные выражения для этих интегралов.
Рассмотрим диаграмму п-го порядка (т. е. содержащую п вершин), имеющую Ne электронных и Ny фотонных внешних линий. Число Ne четно, и электронные линии образуют Ne/2 непрерывных последовательностей, каждая из которых начинается и заканчивается внешним концом. Число же внутренних электронных линий в каждой такой последовательности на единицу меньше числа вершин на ней; поэтому полное число внутренних
§ П2]
РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ ИНТЕГРАЛОВ ФЕЙНМАНА
557
электронных линий в диаграмме равно
п - NJ2.
В каждую вершину входит одна фотонная линия; в Ny вершинах фотонная линия — внешняя, а в остальных n — Ny— внутренняя. Поскольку каждая внутренняя фотонная линия связывает две вершины, полное число таких линий равно
(п — Ny)/2.
Каждой фотонной внутренней линии сопоставляется множитель D{k), содержащий k в степени — 2. Каждой же электронной внутренней линии сопоставляется множитель G(p), содержащий р (при р2 » т2) в степени— 1. Таким образом, суммарная степень 4-импульсов в знаменателе диаграммы равна
2п - NJ2 - Ny.
Число же интегрирований (по d4p или d^k) в диаграмме равно числу внутренних линий, за вычетом числа п— 1 налагаемых на виртуальные импульсы дополнительных условий (из п законов сохранения в вершинах один связывает импульсы внешних концов диаграммы). Учетверив, получим число интегрирований по всем компонентам 4-импульсов:
2(n-Ne-Ny + 2).
Наконец, разность между числом интегрирований и степенью импульсов в знаменателе интегрируемого выражения (обозначим ее г) равна
г = 4 — 3/2Л^, — Ny. (112,1)
Отметим, что это число не зависит от порядка диаграммы п.
Условия г < 0 для диаграммы в целом, вообще говоря, недостаточно для сходимости интеграла; необходимо, чтобы были отрицательны аналогичные числа г' и для внутренних блоков, которые молено было бы выделить из диаграммы. Наличие блоков с / >0 привело бы к их расходимости, хотя остальные интегрирования в диаграмме и сходились бы при этом даже «с избытком». Условия г < 0, однако, достаточно для сходимости простейших диаграмм, в которых п = Ne + Ny и имеется всего одно интегрирование по d4p.
Если же г ^ 0, то интеграл во всяком случае расходится. При этом степень расходимости — не менее чем г, если число г четно, и не менее чем г— 1, если г нечетно (уменьшение степени расходимости на 1 в последнем случае связано с обращением в нуль интеграла от произведений нечетного числа 4-векторов при интегрировании по всему 4-пространству). Степень расходимости может увеличиться при наличии внутренних блоков с ? > 0.
658
ТОЧНЫЕ ПРОПАГАТОРЫ И ВЕРШИННЫЕ ЧАСТИ
[ГЛ. XI
Отметим, что так как Ne и Ny— целые положительные числа, из (112,1) видно, что существует лишь несколько пар значений этих чисел, при которых г ^ 0. Перечислим простейшие диаграммы каждого из таких типов, но сразу же исключим из них случаи Ne — Ny = 0 (вакуумные петли) и Ne = 0, Ny = 1 (среднее значение вакуумного тока), поскольку они не имеют физического смысла и соответствующие диаграммы должны просто отбрасываться, как уже было указано в § 103. Остальные случаи уаковы:
—о—
г=г
Г=1
6
А
г=1
(112,2)
г=0
В первом из этих случаев расходимость квадратичная, а во всех остальных (г — 0 или г = 1) — логарифмическая.
Диаграмма г)—первая поправка к вершинному оператору. Она должна удовлетворять условию (110,19), которое запишем здесь в виде
й(р)А11(р, р\ 0)и(р)~0, р2 = т2, (112,3)
где
А» = Т» — у». (112,4)
Обозначим интеграл Фейнмана, записанный прямо по диаграмме, посредством Av(p2, р]\ к). Этот интеграл логарифмически расходится и сам по себе условию (112,3) не удовлетворяет. Мы, однако, получим величину, удовлетворяющую этому условию, образовав разность
&*{р2, Рь к) = А*(р2, Рй к) — Л“ {ри р{, 0) Ц_т2. (112,5)
Главный член расходимости в интеграле А>1(р2,р\\ к) получится,
если считать в подынтегральном выражении 4-импульс виртуального фотона f сколь угодно большой величиной. Он имеет вид1)
—4яге2 J ?{yf) Vv d-f-
(2я)4
*] Полное выражение для интеграла записано в § 117 — см, (117,2).
§ П2]
РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ ИНТЕГРАЛОВ ФЕЙНМАНА
559
и не зависит от значений 4-импульсов внешних линий. Поэтому в разности (112,5) расходимость сокращается и получается конечная величина. О такой операции устранения расходимости путем вычитаний говорят как о регуляризации интеграла.
Подчеркнем, что возможность регуляризации интеграла (/?2, рй к) путем одного вычитания обеспечивается тем, что в данном случае расходимость — лишь логарифмическая, т. е. наименее сильная из всех возможных. Если бы в интеграле содержались расходимости различных порядков, то одно вычитание при 6 = 0 могло бы оказаться недостаточным для устранения всех расходящихся членов.
