Теоретическая физика - Ландау Л.Д.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка):
условие интегрирования по р0 > 0 имеет инвариантный харак-
тер (верхняя полость конуса р2 = т2).
Сравним (115,7) с исходной формулой (115,2). Мы видим, что скачок функции @(t) на разрезе в плоскости t можно получить, если в исходном фейнмановском интеграле произвести замену
>- тг + ю ~ 2габ (Р2 “ (115,9)
впропагаторах, отвечающих пересеченным на диаграмме (113,1)’ линиям петли (S. Mandelstam, 1958, R, Cutkosky, 1960).
572
РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ
[ГЛ. XIГ
Обратим внимание на то, что условия (115,8) выделяют ту область импульсного пространства, в которой линии виртуальных частиц на диаграмме отвечают реальным частицам (или, как говорят, 4-импульсы р и р — k лежат на массовой поверхности). Здесь ясно видна связь с методом соотношения унитарности, в котором эти же линии заменялись на линии реальных частиц промежуточного состояния.
Мы видим также математическую причину отсутствия расходимости в мнимой части диаграммы: она определяется интегрированием по конечной области массовой поверхности вместо интегрирования по всему бесконечному импульсному 4-пространству в исходном фейнмановском интеграле.
Чтобы получить теперь из (115,7) выведенную в § 113 формулу, вернемся к системе отсчета, в которой к = 0, и проведем интегрирование по
d*p = | р | е ds dp0 do.
Интегрирование сводится к снятию 8-функций. При этом
б (р2 — in2) dp0 = б (р* — е2) dp0-+-^-6 (р0 — е) dpQ,
и затем
б [(р — kf — m2] ds — б [(р0 — k0)2 — е2] ds =*
== б ( — 2e/z0 -f k2) ds -> -щ- б (е
В результате получим
(t) = — Ц д/- ф (е, р) do,
где t — к2 — к\, а значение функции ср берется при р0 = е = kJ2, р2 = е2 — т2 = к2/А — т2,
т. е, равно
ф(е, 9)-=-^r(2m2 + t)
и не зависит от угла. Поэтому интегрирование по do сводится к умножению на 4л, и мы возвращаемся к (113,8).
В изложенном выводе существен только тот факт, что диаграмма рассекается на две части путем пересечения всего двух линий. Поэтому сформулированное правило остается в силе и для диаграмм, составленных из любых двух блоков, соединенных двумя (электронными или фотонными) линиями. Интеграл, вычисленный путем замены (115,9), определит при этом тот вклад в мнимую часть диаграммы, который в методе соотношения унитарности связан с соответствующим двухчастичным промежуточным состоянием.
kp
~2
) ds. (115,10)
S H6)
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ФОРМФАКТОРЫ ЭЛЕКТРОНА
573
§ 116. Электромагнитные формфакторы электрона
Рассмотрим вершинный оператор Г^1 —Г^(р2, pv, k) в случае, когда две электронные линии являются внешними, а фотонная — внутренней. Электронным внешним линиям отвечают множители и\ — и(рi) и й2 = й(р2), так что Г входит в выражение для диаграммы в виде произведения
# = б2Г%. (116,1)
Как уже отмечалось в § 111, оно представляет собой электронный ток перехода с учетом радиационных поправок. Требования релятивистской и калибровочной инвариантности позволяют установить общий вид матричной структуры этого тока.
Оператор электромагнитного взаимодействия V — е(|Л) — истинный скаляр (а не псевдоскаляр), чем выражается сохранение пространственной четности в этих взаимодействиях. Поэтому ток перехода jfi— истинный 4-вектор (а не псевдовектор). Он может выражаться, следовательно, только через истинные же 4-векторы, составленные из имеющихся в нашем распоряжении двух 4-векторов р\ и р2 (третий k — p2— р\) и биспиноров и\ и и2. Таких независимых 4-векторов, билинейных по й2 и и\, всего три:
й2уии (й2и{)ри (й2их)р2,
и .пи, что то же,
й2уии (й2«1 )Р, («2«i)ft, (116,2)
где Р — pi + р2. Но условие калибровочной инвариантности требует поперечности тока перехода к 4-импульсу фотона ft:
ifik — 0. (116,3)
Этому условию удовлетворяют первые два из 4-векторов (116,2): первый в силу уравнений Дирака
(у Pi — т)их — 0, й2(ур2 — т) = 0, (116,4)
а второй — потому, что Pk — 0. Ток jfi представляется линейной комбинацией этих двух 4-векторов:
ifi = f 1 (u2«i) J31* + fz {й2у\),
где fi, f2 — инвариантные функции; их называют электромагнитными формфакторами электрона.
Так как 4-импульсы рх и р2 относятся к свободному электрону, то р\= р\ — т2, и из трех 4-векторов р\, р2, k (связанных
равенством k — p2 — pi) можно составить всего одну независимую скалярную переменную, в качестве которой выберем k2. Тогда формфакторы — функции ft2.
574
РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ
[ГЛ. XII
Выражение для тока можно представить и в других видах, с другим выбором двух независимых членов. Использовав уравнения (116,4) и правила коммутации матриц у, легко убедиться, что
(u2(Tlivul) kv = — 2m -{- (u2uj) Р'а, (116,5)
где ct|1V = V2 (y|1yv — YVY^)- Коэффициент при таком члене имеет, как мы увидим, важный физический смысл, так что будем писать
Г * = (к2) - ±^g (к2) ст (116,6)
где f, g — два других формфактора; смысл выделения множителя 1/2т выяснится ниже1). Для краткости мы пишем вместо тока вершинный оператор, подразумевая, что он должен браться «в обкладках» й2 ... щ.
Для выяснения свойств формфакторов рассмотрим диаграмму (110,16) процесса взаимодействия электрона с внешним полем. Соответствующая ей амплитуда рассеяния
