Теоретическая физика - Ландау Л.Д.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка):
i^_>_e2^SpY,G(p)YvG(p_A)_g_. (115>1)
( Ые1 Г
1т^ = 1т|‘з(2^]
Sp (VP + щ) y^iyp + yk + m)
(p2 _ m2 + iQ) _ m2 + <0]
§ ЦБ] ВЫЧИСЛЕНИЕ МНИМОЙ ЧАСТИ ПОЛЯРИЗАЦИОННОГО ОПЕРАТОРА 569
После вычисления следа интеграл принимает вид
Im @ (k2) = 1пД -т-2--2 11 ,?r!P) d h\2-a X'-m' •
v ' J (p2 — m2 + гО) [(p — k)2 — m2 + гО] /11K0x
0/>2 (*
ф (p) = "з^т (2 m2 + pk — p2).
Пусть k2 > 0. Переходим к системе отсчета, в которой k = = (?о, 0). В этой системе
(Р — k)2 = (ро — k0)2 — р2.
Введя также обозначение e = Vp2+ tn2 (е не совпадает с «энергией» виртуального электрона ро!), перепишем (115,2) в виде
оо
\m&{k2) = Irn \ d3p \ dp0-r~2----2---------------------------------\и~Ро’ Р) лг-2-Г>
J (Pl-e2+i0)[(pa-k0Y-e2+i0]
2е* (П5,3)
Ф (Ро. р) = toT {tn2 + е2 + Pak0 — pg).
Подынтегральное выражение имеет четыре полюса по переменной р0:
а) р0 = 8 — Ю, а') р0== —е + Ю,
&) Ро = *о —е + Ю, Ь') Р0 = й0 + 8 —Ю.
На рис. 2 показано расположение этих полюсов; для определенности будем считать, что ko > 0 (окончательный ответ есть функция от k2 и от знака k0 не зависит). Вычислим скачок функции @(t), испытываемый ею на разрезе в плоскости комплексной переменной t = k2 = k2
или, что то же самое, на веще- а' Ъ ?
ственной оси в плоскости ком- • • f
плексного ko. Вещественная —*—------j----- >—-----
часть функции ?P(t) непрерыв- / *> *,
на на разрезе, так что скачок __________________а "
(t) = 2i Im SP (t). (115,4) Рис. 21
Прежде всего покажем, каким образом уже по виду интеграла можно установить положение разреза. Обозначим в
(115,3) интеграл по р0 как /(р, ko). До тех пор, пока верхние и нижние полюсы на рис. 21 находятся на конечных расстояниях друг от друга, путь интегрирования по ро можно увести вдаль от полюсов (пунктирная линия на рисунке). В этом случае интеграл /(р, ko) не изменится при бесконечно малом смещении полюсов b и Ь' вниз или вверх от вещественной оси, т. е. при замене ko-^ko ± гб, б-э-0. Другими словами, значения /(р, k0) при
570
РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ
{ГЛ. XIII
стремлении k0 к своему вещественному значению сверху и снизу будут одинаковы, так что /(р, ko) не даст вклада в скачок Д55. Ситуация изменится, лишь если два полюса (при к0 > 0 это могут быть полюсы а и Ь) окажутся как раз один под другим, так что контур интегрирования будет «зажат» между ними и не сможет быть уведен. Таким образом, скачок Д^^О, лишь если где-либо в области интегрирования по d3p может быть выполнено условие k0 — е = е, т. е. ka = 2е = 2 ур2 + т2. Для этого, очевидно, должно быть k0 ^ 2т, т. е. t ^ 4т2').
Перепишем интеграл /(р, ko) в виде
(11ЭД
с
опустив члены ДО в знаменателе и соответственно изменив контур С интегрирования, как показано на рис. 22. Мы видим, что
а' Ъ
~\LS-----------O'”
-<Т\—-----------о-----»____
а Ъ'
I а' b
С ——kis-----\is~~—\©/~——^
Ь'
Рис. 22
возникновение скачка A!?(t) связано с невозможностью увода контура от полюса а (когда контур зажат между а и Ь). Имея это в виду, заменим контур С контуром С', проходящим под точкой а, соответственно добавив интеграл по малой окружности С" вокруг этой точки. После этого контур С' можно беспрепятственно увести от полюсов, так что интегрирование вдоль него дает вклад лишь в регулярную часть функции <?(t). Для определения же искомого скачка достаточно рассматривать лишь интеграл по окружности С", что сводится к взятию вычета в полюсе а. Эта операция может быть осуществлена заменой в подынтегральном выражении:
,¦ 1 2- -> — 2ги6 (р\ — в2) (115,6)
Р о— 8
') Аналогичным образом убеждаемся в отсутствии разреза при t =. 1= fe2 < 0. Выбрав в этом случае систему отсчета, в которой k — (0,k), найдем, что полюсы подынтегрального выражения лежат при
ро = ± (8 — (0), Ро = ± (л/(р — к)2 + т2 — 10).
Оба нижних полюса лежат всегда в правой, а оба верхних — в левой полуплоскости ро, так что никакая их пара не может оказаться рядом.
§115] ВЫЧИСЛЕНИЕ МНИМОЙ ЧАСТИ ПОЛЯРИЗАЦИОННОГО ОПЕРАТОРА 571
(знак «—» связан с тем, что окружность вокруг полюса обходится в отрицательном направлении). При этом следует учитывать в аргументе S-функции лишь корень р0 = +е (обходится лишь полюс а, но не а'); это условие будет автоматически учтено, если условиться производить интегрирование лишь по половине импульсного 4-пространства: р0 > 0.
После замены (115,6) скачок интеграла /(р, ko) вычисляется непосредственно:
ы = U (p. h + /б) — / (р, k0 — /б)}^ +0 =
СО
= -2л/ 5 б (Pl-е2) /ф (Ро, Р) [(1Е-—- }_^Z7a] *Ро-
0
Используя равенство
(k0 - Ро)2 - е2 ± /6 = Р (к0-Ро)2-ъ2 ^ Шб — Р°)2 ~
(см. (111,3)), получаем
оо
Д/ = / (2л/)2 jj б (р2 — е2) б [(&0 — р0)2 — е2] ф (pQ, р) dp0.
О
Аргументы б-функций можно переписать в инвариантном виде, вычитая и прибавляя к ним р2:
р2 — е2==р2_ т2' ^ _ р^2 _ е2 = (? _ ру _ т2_
После этого находим окончательно
(k2) — i (2л/)2 ^ dAp • ф (р) б (р2 — т2) б \{р — kf — m2]. (115,7)
Ро>0
Ввиду наличия б-функций интегрирование производится факта» чески лишь в области пересечения гиперповерхностей
р2 — т2, {p — k)2 = m2. (115,8)
Поскольку в этой области все 4-векторы р времениподобны, то
