Теоретическая физика - Ландау Л.Д.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка):
Здесь, однако, надо еще уточнить смысл, придаваемый интегралу по со. Дело в том, что интегрирование компоненты Фурье функции G(e)(т) по со сводится к взятию значения этой функции при т.= 0; но функция G(e)(t) разрывна в этой точке, так что надо указать, какое именно из ее двух предельных значений должно быть взято. Для выяснения этого вопроса достаточно заметить, что интеграл (109,11) происходит от свертывания ^-операторов, стоящих в одном и том же операторе тока:
|(109,4) такой порядок множителей при t = t' получится, если понимать V как ? = t + 0, т. е. предельное значение функции Q(e)(t — t') — как предел при t — t'-+¦—0. Иначе можно сказать, что интеграл по da/2л в (109,11) надо понимать как
Массовый оператор во внешнем поле определяется так же, как в § 105: —iJl есть сумма всех компактных собственноэнергетических блоков. Он является теперь функцией энергии е и импульсов pi и р2 на тех концах внешних линий, которыми они соответственно входят и выходят из блока:
Ь)
(109,10)
Рг ? Р"?' ? Pi
верхней петле отвечает множитель
(109,11)
(109,12)
(109,13)
| 109] ЭЛЕКТРОННЫЙ ПРОПАГАТОР ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ 543
Поступая в точности так, как при выводе (105,6), получим уравнение
9{е, р2, Pi) — G(e)(e, р2, р() =
=5SG,e,(e*р2> р"* pw«- р'* p^ww- (ш9,14)
Более естественный вид этому уравнению можно придать, если вернуться к координатному представлению по простран-ственным переменным, введя функцию
9(в, г, г')=5 5^(8, р2, Pl)е1 (ргг-р-гО , (i09,15)
и аналогично для других величин. Произведя в (109,14) обратное преобразование Фурье, получим
г, г') —G<fi>(e, г, г') =
= G(e>(e, г, г2) Ж (е, г2, гь г ')d3x{d3x2.
Применим теперь к обеим сторонам равенства оператор
Y°e — vp — еу ' (л:)
(е — число, р = —/V — оператор дифференцирования по координатам г). При этом надо учесть, что согласно (109,6)
lv°e — VP — еуА{е) (*)] G<e) (е, г, г') = 6 (г — г'). (109,16)
В результате получим следующее уравнение:
[Y0e — YP — еуА[е) (*)] $ (в, г, г') — jj Ж (е, г, r() $ (е, rlt г') d?xx =
= б (г — г'). (109,17)
Особая ценность функции $ (е, г, г') состоит в том, что ее полюсы определяют уровни энергии электрона во внешнем поле.
Покажем это сначала для приближенной функции G(e)(e,r,r'). Подставив операторы (109,2) в определение пропагатора (109,4), получим (в точности аналогично формулам
(75,12) для пропагатора свободных частиц)
544
ТОЧНЫЕ ПРОПАГАТОРЫ И ВЕРШИННЫЕ ЧАСТИ
[ГЛ. XI
и после перехода к компонентам Фурье по времени Г<е)(г _ . ^7* <Г) (г') 1 ,innim
Gik (в, г, г ) = > <--------+ - - ---------—г;—— >. (109,19)
' I. е — е'„ + гО е + е' — /0 )
П ,к п
Мы видим, что G(e) (г, г, г') как аналитическая функция е имеет на положительной вещественной полуоси полюсы, совпадающие с уровнями энергии электрона, а полюсы на отрицательной полуоси совпадают с уровнями энергии позитрона. Значения > т образуют непрерывный спектр1), и соответствующие полюсы сливаются в два разреза плоскости е: от —с» до —т и от т до +оо. На отрезке |е|<! т лежат полюсы, определяющие дискретные уровни энергии.
Для точного пропагатора $ (е, г, г') можно получить аналогичное разложение, выразив его через матричные элементы шредингеровских операторов, с которыми матричные элементы гейзенберговских г|з-операторов связаны равенствами
<т|я|з(Л r)|n) = <m!t(r)|n)exp{— г (Еп — Em)t}. (109,20)
Здесь Еп — точные (т. е. со всеми радиационными поправками) уровни энергии системы во внешнем поле. Оператор 1ф> увеличивает, а оператор уменьшает на 1 (т. е. на +|е|) заряд системы. Это значит, что в матричных элементах <п|г|з|0) и <01 jлг) состояния |л> должны соответствовать равному +1 заряду системы, т. е. могут содержать, помимо одного позитрона, лишь некоторое число электрон-позитронных пар и фотонов; энергии этих состояний обозначим ?1“’. Аналогичным образом в матричных элементах <0|г|)|л> и <л|гр|0> состояния |л> содержат один электрон и некоторое число пар и фотонов (энергия ?п+))- Вместо (109,18) получим теперь
— г. г') =
Z <0 lti(r)|n)<n|tft(r')|0)exp{— iE{n]{t — t')}, t > t',
П
1 2 <0 l^ft (*"') [ /z)</z | г[з( (r)| 0)exp {iE^T^i — 0}> i<t',
(109.21)
и отсюда
r, r') =
(0 I (г) I ft) (ft I (r') |0) . <01 tpfe (Гр I n)(n I г|з,- (r) |0> )
e-E^+iO e + E{~] — iO j
(109.22)
l) Предполагается, что внешнее поле исчезает на бесконечности.
s 109] ЭЛЕКТРОННЫЙ ПРОПАГАТОР ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ Б45
Пусть е близко к какому-либо из дискретных уровней энергии (или к одному из —Тогда из всей сум-
мы в (109,22) можно оставить лишь один соответствующий полюсный член. Подставив его затем в (109,17), мы увидим, что множители, зависящие от второго аргумента г' (при гфг'), из уравнения выпадают. В результате мы получим однородное интегродифференциальное уравнение для функции <01 (г) |п> (или <лг| •ф (г) 10)), которую мы обозначим для краткости Ч'У(г)1). Опуская индекс п, имеем
[у°е + /yV — eyA(el (r)]<fc 'Р*, (г) — jj Jltk (в, г, rj Wk (rj d3x{ = 0
(109,23)
'(/. Schwinger, 1951). Дискретные уровни энергии En выступают теперь как собственные значения этого уравнения. Тем самым уравнение (109,23) становится основой регулярной процедуры для определения этих уровней.
