Теоретическая физика - Ландау Л.Д.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка):
Выразим, например, из (109,23) поправку первого порядка по Ж к дискретному уровню энергии электрона еп, полученному в результате решения уравнения Дирака
[у°е„ -f i\V — еуА{е) (г)] (г) = 0; (109,24)
волновая функция if>„(r) пусть нормирована условием
^ 'фп'фл d3x = 1. (109,25)
Собственную функцию уравнения (109,23) запишем в виде
4fn(r) = H>n(r) + il><nI>(r), (109,26)
где ijjn* — поправка к г|)„. Подставив (109,26) в уравнение
(109,23), умножив его слева на фп(г) и проинтегрировав по (кгх2), прлучим искомое выражение
Еп — еп~ J ^я/(г)^Г,*(вп, г, г,) я!),,* (rjtf'jcd3*!. (109,27)
') В пренебрежении радиационными поправками ^„(г) совпадают (для состояний с одним электроном или позитроном) с волновыми функциями или —решениями уравнения Дирака.
2) При интегрировании надо использовать самосопряженность дифференциального оператора уравнения (109,24) с целью перебросить его действие
с i|4u на
546
ТОЧНЫЕ ПРОПАГАТОРЫ И ВЕРШИННЫЕ ЧАСТИ [ГЛ. XI
§ 110. Физические условия перенормировки
Излагавшаяся до сих пор в этой главе теория носила в значительной степени формальный характер. Мы оперировали со всеми величинами так, как если бы они были конечными, и намеренно не -обращали внимания на встречающиеся в теории бесконечности. Между тем при фактическом вычислении функций, $Ь, g?-, Г по теории возмущений встречаются расходящиеся интегралы, которым нельзя, без привлечения дополнительных соображений, приписать какого-либо* определенного значения. В возникновении таких расходимостей проявляется логическое несовершенство излагаемой квантовой электродинамики. Мы увидим, однако, что в этой теории можно установить определенные предписания, позволяющие однозначным образом производить «вычитание бесконечностей» и в результате получать конечные значения для всех величин, имеющих непосредственный физический смысл. В основе этих предписаний лежат очевидные физические требования, сводящиеся к тому, чтобы масса фотона была равна нулю, а заряд и масса электрона были разны их наблюдаемым значениям.
Начнем с выяснения условий, налагаемых на фотонный пропагатор.
Рассмотрим процесс рассеяния, который может происходить через одночастичные промежуточные состояния с одним виртуальным фотоном. Амплитуда такого процесса должна иметь полюс, когда квадрат суммарного 4-импульса начальных частиц Р совпадает с квадратом массы реального фотона, т. е. Р2 = 0; мы видели в § 79, что это требование следует из общего условия унитарности. Полюсный член в амплитуде возникает из диаграммы вида (79,1):
причем с учетом радиационных поправок обе части диаграммы должны быть соединены жирной пунктирной линией (точный фотонный пропагатор). Это значит, что функция 2)(кя) должка иметь полюс при k2 = 0, т. е. должно быть
где Z — постоянная. Для поляризационного оператора же ZP{k2) отсюда получается согласно (103,21) условие
(110,1)
S5->-p- при k2-*0,
(110,2)
& (0) = 0.
(110,3)
§ 110]
ФИЗИЧЕСКИЕ УСЛОВИЯ ПЕРЕНОРМИРОВКИ
547
При этом коэффициент в (110,2)
1 _ , &(k2)
Дальнейшие ограничения на функцию ?Р(к2) можно получить из анализа физического определения электрического заряда частицы. Оно состоит в том, что две классические (т. е. сколь угодно тяжелые) частицы, покоящиеся на больших расстояниях друг от друга, должны взаимодействовать по закону Кулона: U = e2/r (имеются в виду расстояния г^Х/т, т — масса электрона). С другой стороны, это взаимодействие выражается диаграммой
где верхние и нижние линии отвечают классическим частицам. Фотонные собственно-энергетические поправки учтены на линии виртуального фотона. Всякие же другие поправки, затрагивающие линии тяжелых частиц, привели бы к обращению диаграммы в нуль. Действительно, добавление каких-либо еще внутренних линий в диаграмме (110,4) (например, соединение линий а и с или а и b фотонной линией) приводит к появлению на диаграмме линий виртуальных тяжелых частиц, которым сопоставляются соответствующие пропагаторы. Но пропагатор частицы содержит ее массу М в знаменателе и обращается в нуль при М -> оо.
Из вида диаграммы (110,4) ясно (ср. § 83), что множитель e2S)(k2) в ней должен представлять собой (с точностью до знака) фурье-образ потенциала взаимодействия частиц. Статичность взаимодействия означает, что частоты виртуальных фотонов со = 0, а большим расстояниям отвечают малые волновые векторы к. Фурье-образ кулонова потенциала есть 4яе2/к2. Наконец, поскольку функция зависит только от квадрата к2 = = со2 — к2, то мы приходим к условию
т. е. коэффициент в (110,2) должен быть Z = 1 (знак в условии
(110,5) очевиден: ?D(k2) стремится к пропагатору свободных фотонов D(k2)). Для поляризационного оператора &(№) это значит, что должно быть
(110,4)
2)->4n/k2, k2->0,
(110,5)
$>(№)/k2-> 0, k2->Q.
(110,6)
548 ТОЧНЫЕ ПРОПАГАТОРЫ И ВЕРШИННЫЕ ЧАСТИ [ГЛ. XI
Помимо известного уже нам условия (110,3), отсюда следует, что должно быть также и
^'(0) = 0. (110,7)
В § 103 было отмечено, что эффективной внешней линии реального фотона отвечает в диаграмме множитель (103,15), или, с учетом (103,16) и (103,20),
