Теоретическая физика - Ландау Л.Д.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка):
После определения первой поправки в Г1* (первого члена разложения Л^) первая поправка в электронном пропагаторе (диаграмма (112,2,6)) может быть вычислена по тождеству Уорда (108,8), которое можно записать также и в виде
МЖ~-Л*-(р, р; 0), (112,6)
введя массовый оператор Ж вместо $ и вместо ]>. Это уравнение должно быть проинтегрировано с граничным условием
й (р) Ж (р) и (р) = 0, р2 = т2, (112,7)
следующим из (110,20).
Наконец, для вычисления первого члена разложения поляризационного оператора обратимся к тождеству (108,14); после упрощения по двум парам индексов оно дает уравнение
4" dka dk°
связывающее скалярные функции
Обе эти функции зависят только от скалярной же переменной k2, и поэтому находим
2k2$>" (k2) + д* (k2) = ~ SP [k2), (112,8)
где штрихи означают дифференцирование по k2. Ввиду условия S3'(0) = 0 из этого уравнения ясно, что должно быть и
^(0) = 0. (112,9)
В' первом приближении теории возмущений 9>(k2) опреде-
ляется диаграммой (112,2,(9) (с 4-импульсами концов k, k, 0, 0). Соответствующий интеграл Фейнмана (обозначим его ??(№)) расходится логарифмически, и его регуляризация осуществляется
560
ТОЧНЫЕ ПРОПАГАТОРЫ И ВЕРШИННЫЕ ЧАСТИ [ГЛ. XI
одним вычитанием по условию (112,9):
& (k2) — 9* (k2) — 9* (0).
После этого k2) определяется решением уравнения (112,8) с граничными условиями 55(0) = 0, й3/(0) = 0.
В следующем приближении теории возмущений поправка к вершинному оператору (Л|?) определяется диаграммами (106,10,в—и). Из них неприводимая (106,10,г) вычисляется такой же регуляризацией интегралов с помощью одного вычитания согласно (112,5), как и при вычислении поправки первого приближения Л'цЧ Содержащиеся же в приводимых диаграммах внутренние собственно-энергетические и вершинные части более низкого порядка сразу заменяются известными уже (регуляри-зованными) величинами первого приближения , A*,»*),
после чего получившиеся интегралы регуляризуются снова согласно (112,5)1). Поправки и JH2) могут быть затем вычислены с помощью уравнений (112,6) и (112,8).
Описанная систематическая процедура дает, в принципе, возможность получить конечные выражения для I и Лц в любом приближении теории возмущений. Тем самым становится возможным и вычисление амплитуд физических процессов рассеяния, описывающихся диаграммами, в которые блоки Ж, Лц входят как составные части.
Мы видим, таким образом, что установленные выше (см. §111) физические условия оказываются достаточными для однозначной регуляризации всех встречающихся в теории диаграмм Фейнмана. Это обстоятельство является отнюдь не тривиальным свойством квантовой электродинамики и носит название пе-ренормируемости2).
Для фактического вычисления радиационных поправок описанная выше процедура может, однако, оказаться не наиболее простым и рациональным путем. В следующей главе мы увидим, В частности, что целесообразный путь может начинаться с вычисления мнимой части соответствующих величин; эти части даются интегралами, не содержащими расходимостей. Вся величина в целом определяется затем путем аналитического продолжения с помощью дисперсионных соотношений. Тем самым оказывается возможным избежать громоздких вычислений, требуемых для прямой регуляризации путем вычитаний.
*) В диаграммах же еще более высоких приближений может оказаться необходимым заранее заменить уже регуляризованными значениями также и «четыреххвостые» блоки 9\
2) Другой подход к теории перенормировок в квантовой электродинамике
изложен в книге: Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В. Введение в теорию кван-
тованных полей. — М.: Наука, 1984,
ГЛАВА XII
РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ
§ 113. Вычисление поляризационного оператора
Приступая к фактическому вычислению радиационных поправок, начнем с вычисления поляризационного оператора (/. Schwinger, 1949; R. P. Feynman, 1949). В первом приближении теории возмущений он дается петлей в диаграмме
Р
С'3’»
р-к
Как уже отмечалось, задача облегчается, если начать ее с вычисления мнимой части искомой функции. В свою очередь это вычисление проще всего осуществляется путем использования соотношения унитарности. При этом линии виртуального фотона рассматриваются как отвечающие воображаемой «реальной» частице — векторному бозону массы М2 = k2, взаимодействующему с электроном по тому же закону, что и фотон. Тем самым (113,1) становится диаграммой «реального» процесса, чем и оправдывается применение к ней условия унитарности.
Таким образом, рассматриваем (113,1) как диаграмму для амплитуды перехода бозона самого в себя (диагональный элемент S-матрицы) через распад на электрон-позитронную пару. Крестики на диаграмме (113,1) показывают, по каким линиям она должна быть рассечена на две части так, чтобы показать промежуточное состояние, фигурирующее при применении соотношения унитарности. Это состояние содержит электрон с 4-им-пульсом р_ = р и позитрон с р+ — — (р — k).
Соотношение унитарности с двухчастичным промежуточным состоянием (71,4) при совпадающих начальном и конечном состояниях дает
21тМ„ = -^ ? \\Matfdo. (113,2)
поляр
Здесь амплитуда Мц, составленная по диаграмме (113,1), есть
