Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Ландау Л.Д. -> "Теоретическая физика" -> 190

Теоретическая физика - Ландау Л.Д.

Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика: Учебное пособие — М.: Наука, 1989. — 728 c.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка): teoreticheskayafizika1989.pdf
Предыдущая << 1 .. 184 185 186 187 188 189 < 190 > 191 192 193 194 195 196 .. 244 >> Следующая

Член +Ю в знаменателе подынтегрального выражения в
(111,1) показывает, что полюс t' = t должен обходиться снизу. Иными словами, под значением функции П(^) при вещественном t следует понимать ее значение на верхнем берегу разреза. Используя правило (75,18):
_________________ 7Т7о- = рТ + г'лб(л:)- (111>3)
’) Не смешивать с обозначением времени!
2) Так, точка k2 = 0 является порогом для рождения трех (или большего нечетного числа) реальных фотонов, точка k2 = 4 т2— порог для рождения электрон-позитронной пары и т. п.
554
ТОЧНЫЕ ПРОПАГАТОРЫ И ВЕРШИННЫЕ ЧАСТИ
[ГЛ. XI
находим, что для вещественных t
I m П (t) s= I m П (t + i0) = — np (t).
(111,4)
На нижнем же берегу разреза Im П имеет обратный знак, a Rell на обоих берегах одинаково. Поэтому скачок функции П(^) на разрезе
Само интегральное представление (111,1) можно рассматривать в этом аспекте просто как формулу Коши для аналитической функции П(/). Действительно, применим формулу Коши
огибающему разрез. В предположении достаточно быстрого убывания П(^) на бесконечности, интеграл по большой окружности исчезает, а интегралы по берегам разреза дают следующую формулу (дисперсионное соотношение), определяющую функцию П(^) по ее мнимой части:
Подставив сюда (111,4), получим (111,1)*).
Аналитические свойства функций &(t) и ?D(t) совпадают со свойствами функции П(0, через которую они выражаются простыми формулами (104,2) и (103,21). Для 3)(t) имеем
На вещественной полуоси (t > 0) согласно сказанному выше надо понимать t как t-\-iQ. Мнимую часть 0(t) можно вычис-
') Дисперсионные соотношения были введены в квантовую теорию поля Гелл-Маном, Гольдбергером и Тиррингом (М. Gell-Mann, М. L. Goldberger, W. Е. Thlrring, 1954),
п (t + /0) — П (/ — /0) == -2nip (t).
(111,5)
(111,6)
с
к контуру
(111,7)
оо
оо
Im П (/' + /0) t' — t
f — t — /о
1ш П (/')
dt'. (111,8)
0
о
(111,9)
§ ш] АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ФОТОННОГО ПРОПАГАТОРА 555
лить затем с помощью (111,3) и (111,4), причем надо учесть, что согласно (110,6) n(f)/f->0 при 0. Тогда найдем
1ш Ф (t) = —4я26 (t) + ^ 1ш П (t) = —4я26 (t) - Ip- р (0. (111,10)
Применив теперь к функции S)(t) дисперсионное соотношение вида (111,8), получим для нее следующее интегральное представление;
со
S)(t) = -^- + 4n\^Q-----------^-----. (111,11)
t + i0 j t'2 t -1' + to v
Эту формулу называют разложением Челлена — Лемана (G.Kat-leti, 1952; Я. Lehmann, 1954).
Существует тесная связь между положением разреза для функции ?D(t) (а тем самым и ее мнимой частью на разрезе), с одной стороны, и условием унитарности для амплитуды процесса а + b -> с + d, изображаемого диаграммой (110,4), с другой стороны (эта реакция, конечно, чисто воображаемая; она не противоречит, однако, законам сохранения, и формальное условие унитарности для нее должно выполняться).
В начальном состоянии (i) этого процесса имеются две «классические» частицы а и Ь, а в конечном — две другие end. Условие унитарности (71,2) *):
Tfi - Т'а = i (2я)4 ? Tfnftn 6,4) (Pi - Pt)l (111,12)
П
суммирование в правой стороне производится по всем физическим «промежуточным» состояниям п. В данном случае этими состояниями являются, очевидно, состояния систем реальных пар и фотонов, которые могут быть рождены виртуальным фотоном к, т. е. как раз те состояния, которые фигурируют в матричных элементах в определении функции р (k2) (104,9). Амплитуды Mfi и Мц содержат соответственно множители ?D(k2) и SD*(k2), а их разность — мнимую часть 1т 2) (к2). Мы видим, таким образом, что уже известная нам (из (111,4)) связь между появлением у 2) мнимой части и существованием указанных промежуточных состояний является следствием необходимых требований унитарности.
Мы увидим в дальнейшем, что фактические вычисления по теории возмущений функции 2D(t) (или, что то же, функции &(t)) удобно начать с вычисления мнимой части в которой не возникает расходящихся выражений. Но если затем вычислять
•) Напомним, что амплитуды Тц отличаются от амплитуд Мц лишь множителями, — см. (64,)0).
556
ТОЧНЫЕ. ПРОПАГАТОРЫ И ВЕРШИННЫЕ ЧАСТИ
[ГЛ. XI
функцию t?(t) по дисперсионной формуле вида (111,8), то интеграл окажется расходящимся и понадобится производить дополнительные операции вычитания с целью удовлетворить условиям ^(0) = 0 и &>' (0) = 0. Это вычитание можно, однако, произвести без явного оперирования с расходящимся интегралом. Для этого достаточно применить дисперсионное соотношение (111,8) не к самой функции ZP(t), а к функции ZP(t)/t2. Тогда &(t) представится в виде
оо
&(t) = — [ —¦—dt', (111,13)
я J t'1 (t'-t- iO)
Этот интеграл уже сходится, а получаемая таким образом функция &*(t) автоматически удовлетворяет требуемым условиям.
О соотношении вида (111,13) говорят как о дисперсионном соотношении «с двумя вычитаниями». Смысл использованного в нем перехода к функции $P(t)/t2 становится особенно наглядным, если записать (111,13) в виде
оо оо
Im 0>(t')dt' _ jf Im / _ J_f Im (t') ^
t' — t — iO n J t' * J t'2
о о
Если обозначить первый («нерегуляризованный») интеграл как iP(t), то все выражение в правой стороне будет равно
Предыдущая << 1 .. 184 185 186 187 188 189 < 190 > 191 192 193 194 195 196 .. 244 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed