Курс общей физики. Механика и молекулярная физика - Ландау Л.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Обозначим эти координаты буквами х, у, г. Координаты узлов решетки Браве изображаются целыми числами (или целыми числами с половинками, но это обстоятельство ничего не изменит в дальнейших рассуждениях).
Общее уравнение плоскости имеет вид
lx-\- my + nz = k
(так оно выглядит как в прямоугольных, так и в косоугольных координатах). Если I, т, п, k — целые числа, то это равенство, рассматриваемое как одно уравнение для трех неизвестных величин X, у, z, имеет бесчисленное множество целочисленных решений. Другими словами, в плоскости содержится бесчисленное множество узлов решетки, т. е. мы имеем кристаллическую плоскость.
Легко выяснить смысл чисел /, т, п. Положив в уравнении у= Z=0, мы получим x=k/l; это есть координата точки, в которой плоскость пересекает ось X. Аналогичным !54
УЧЕНИЕ О СИММЕТРИИ
[гл. VI
образом найдем, что отрезки, отсекаемые плоскостью на осях у и z, равны k/m и kjn. Отсюда заключаем, что длины отрезков, отсекаемых плоскостью на всех трех осях, относятся друг к другу, как
]_
т
т. е. они обратно пропорциональны числам I, т, п. Напомним, что речь идет о длинах, измеряемых в единицах а, Ь, с;
в обычных единицах эти длины находятся в отношении а ь с I ' т ' п '
Таким образом, мы видим, что числами I, т, п определяется направление плоскости, ее ориентация относительно осей решетки; число же k зависит не от направления плоско-Рис. 26. сти, а от ее расстояния до на-
чала координат. Придавая числу k различные целые значения, мы получим (при заданных значениях чисел I, т, п) целое семейство параллельных кристаллических плоскостей. В кристаллической плоскости нас интересует именно ее направление, а не абсолютное положение в решетке. В этом смысле плоскость полностью задается тройкой чисел I, т, п. При этом еще можно сократить эти числа на их общий наибольший делитель; очевидно, что это не изменит направления плоскости. Определенные таким образом числа I, т, п называются индексами кристаллической плоскости и записываются в круглых скобках в виде (Imn).
Рассмотрим в качестве примера некоторые плоскости в кубической решетке.
Плоскость, перпендикулярная оси х (рис. 26), отсекает на осях отрезки 1, оо, оо; обратные значения этих величин равны 1, 0, 0, так что индексы плоскости: (100). Аналогично индексы плоскостей, перпендикулярных осям у и z, будут (010) и (001). Совокупность таких плоскостей ограничивает собой тело кубической формы; поэтому их часто называют плоскостями куба. § 48]
КРИСТАЛЛИЧЕСКИЕ ПЛОСКОСТИ
155
Диагональная плоскость, параллельная оси г, отсекает одинаковые отрезки по осям х и у (рис. 27, а). Поэтому она имеет индексы (110). Такие диагональные плоскости называют плоскостями ромбического додекаэдра — по названию двенадцатигранника, ограниченного плоскостями такого рода (рис. 27, б).
Рис. 27.
Рис. 28.
б)
Диагональная плоскость куба (рис. 28, а) отсекает одинаковые отрезки на всех трех осях, так что она имеет индексы (111). Такого рода плоскости называют плоскостями октаэдра — по названию образуемого ими правильного восьмигранника с треугольными гранями (октаэдр, изображенный на рис. 28, б, получается соединениями между собой центров шести граней куба). 156
УЧЕНИЕ О СИММЕТРИИ
[ГЛ. VI
§ 49. Естественная огранка кристалла
Плоскости, ограничивающие естественный кристалл, всегда проходят через атомы его решетки. Поэтому они являются кристаллическими плоскостями. Направления различных граней кристалла и образуемые ими друг с другом углы связаны со структурой его решетки и потому являются характерными свойствами каждого данного вещества.
Рассмотрим какие-либо две грани кристалла, имеющие индексы (Imn) и (I'm'п'). Обозначим посредством А, В, С и А', В', С' длины отрезков, отсекаемых этими плоскостями на осях координат. Согласно сказанному в § 48 отношения этих длин (измеренных в обычных единицах длины) равны
Imn' I т п
Разделив первое из этих соотношений на второе, получим
A'' В' ' С' I ' т ' п
Путем умножения на общее наименьшее кратное чисел /, т, п правая сторона этого соотношения приводится к отношению некоторых трех целых чисел.
Мы видим таким образом, что отношение между отрезками, отсекаемыми на осях какой-либо гранью кристалла, выраженными в отсекаемых другой гранью отрезках, как единицах длины, всегда является отношением трех целых чисел. Это правило называется законом рациональности граней.
Поверхности граней ионных кристаллов должны обязательно содержать ионы разных знаков. Кристаллические плоскости, содержащие ионы одного знака, не могут быть гранями кристалла. Это обстоятельство позволяет объяснить в ряде случаев некоторые особенности кристаллизации различных веществ.
Рассмотрим, например, кристалл NaCl, решетка которого была изображена на рис. 24. На рисунке видно расположение ионов Na+ и Cl" в плоскостях (100) и (111) этой решетки. Мы видим, что плоскость (111) (диагональная плоскость, намеченная на рис. 24 пунктиром) проходит через ионы одного сорта; поэтому эта плоскость не может быть гранью кристалла и, следовательно, каменная соль не § 49]
