Курс общей физики. Механика и молекулярная физика - Ландау Л.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Для того чтобы уяснить себе причину такого предпочтения объемно- и гранецентрированных структур, рассмотрим задачу, хотя и не имеющую непосредственного физического смысла, но близкую по своей постановке,— задачу об упаковке одинаковых шаров.
Рассмотрим сперва упаковку шаров в виде простой кубической решетки. В такой решетке соприкасаются друг с другом шары, находящиеся в соседних вершинах кубических ячеек. Поэтому ребро куба а равно диаметру шаров d. Поскольку на каждую кубическую ячейку в этой решетке приходится всего по одному шару, то мы можем сказать, что на один шар приходится объем, равный a3=d3. Объем
4зт (fo г*
же самого шара равен -g- = 0,52 а3, т. е. составляет всего 52% объема ячейки. 148
УЧЕНИЕ О СИММЕТРИИ
[ГЛ. VI
Более выгодной в смысле плотности упаковки оказывается объемноцентрированная кубическая решетка. В этом случае ближайшими соседями, которые должны касаться друг друга, являются атомы в вершине и в центре ячейки. Так как пространственная диагональ куба равна а [ 3 , то должно выполняться равенство d=a}/3/2, откуда объем кубической ячейки a3=8d3/3J/A3. Но на объемноцентриро-ванную кубическую ячейку приходится по два шара. Объем же элементарной ячейки, содержащей один шар, составит 4 еР/3]/3; легко подсчитать, что шар заполняет собой 68% этого объема.
Наконец, наиболее выгодным способом упаковки оказывается гранецентрированная кубическая решетка (по этой
Рис. 20.
причине ее называют кубической плотной упаковкой). В этом случае шар, центр которого находится в центре грани, должен касаться шаров, центры которых находятся в вершинах куба. Поэтому длина ребра куба a*=dV2. Объем элементарной ячейки в 4 раза меньше объема куба и равен с8 d3
— =- р=, шар заполняет уже 73% этого объема.
Если смотреть на эту решетку в направлении диагонали куба, то окажется, что она может быть описана как состоящая из последовательных слоев, в каждом из которых узлы § 46]
РЕШЕТКИ ХИМИЧЕСКИХ ЭЛЕМЕНТОВ
149
(центры шаров) образуют сетку правильных треугольников (рис. 20, а). В каждом следующем слое узлы расположены над центрами треугольников предыдущего слоя, причем существуют три вида последовательно чередующихся слоев (на рис. 20, а и б цифрами показано соответствие между узлами этих слоев и узлами кубической ячейки).
Но столь же плотную упаковку можно, очевидно, осуществить, чередуя всего два вида слоев (рис. 21). При этом получится гексагональная решетка с двумя атомами в элементарной ячейке. Такую решетку называют гексагональной плотной упаковкой. В модели с шарами отношение высоты призматической ячейки с этой решетки (расстояние между ближайшими одинаковыми слоями) к длине а ребра ее основания должно быть равно, как можно подсчитать, с/а= 1,63.
Решетку типа гексагональной плотной упаковки имеют около пятнадцати элементов (металлов): Mg, Cd, Zn, Ni и др. В большинстве случаев отношение осей в этих кристаллах очень близко к идеальному значению 1,63. Но существуют и исключения: у Cd и Zn отношение с/а составляет около 1,9, т. е. решетка в большей степени вытянута вдоль высоты призм, чем это было бы при плотной упаковке шаров; это обстоятельство приводит к более резко выраженной анизотропии этих кристаллов.
Описанные три типа решеток являются наиболее распространенными среди элементов. Наряду с ними существуют и специфические решетки, в каждой из которых кристаллизуются очень немногие элементы. Упомянем в общих чертах некоторые из них.
Наиболее распространенная модификация углерода — графит — имеет гексагональную решетку, в которой, кроме графита, не кристаллизуется ни один другой элемент. Эта решетка имеет слоистый характер: она состоит из плоских параллельных слоев, в которых атомы расположены по вершинам правильных шестиугольников (рис. 22). Расстояние между соседними слоями в 2,3 раза больше, чем расстояние между атомами внутри слоя. Этим объясняется легкость расслоения графита.
Ol
I
to N.
К
j-.-Д
Рис. 21. 150
УЧЕНИЕ О СИММЕТРИИ
[ГЛ. VI
Другая модификация углерода — алмаз — имеет кубическую решетку, которую можно представить себе образованной двумя гранецентрированнымн решетками Браве, смещенными друг относительно друга на четверть диагонали куба. В результате каждый атом углерода оказывается окруженным четырьмя находящимися* на одинаковых
Рис. 22.
Рис. 23.
расстояниях от него соседними атомами, расположенными по вершинам тетраэдров. Эта решетка изображена на рис. 23 (как темные, так и белые кружки представляют собой атомы углерода, но образующие разные решетки Браве). Решетку типа алмаза имеют также и гомологи углерода — кремний и германий.
Интересный характер имеет решетка висмута. Она относится к ромбоэдрической системе, но замечательна тем, что очень близка к кубической. Решетку висмута можно представить как слегка деформированную простую кубическую решетку: куб несколько сплюснут в направлении своей диагонали (так что превращается в ромбоэдр) и, кроме того, происходит еще очень небольшое дополнительное смещение атомов.
