Курс общей физики. Механика и молекулярная физика - Ландау Л.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Тело конечных размеров — молекула — может обладать, в принципе, осью симметрии любого порядка. В противоположность этому периодическая структура — кристаллическая решетка — может иметь оси симметрии лишь очень немногих порядков: 2-го, 3-го, 4-го и 6-го. В самом деле, наличие в решетке, например, оси симметрии 5-го порядка означало бы возможность найти в решетке 136
УЧЕНИЕ О СИММЕТРИИ
[ГЛ. VI
плоскость, усеянную узлами, образующими правильные пятиугольники. Но это заведомо невозможно, так как плоскость можно заполнить без просветов только правильными треугольниками, квадратами и шестиугольниками. Для того чтобы доказать это, рассмотрим какую-либо точку на плоскости, в которой сходятся ребра заполняющих эту плоскость многоугольников. Так как это заполнение происходит без просветов, то угол многоугольника (угол между двумя его соседними ребрами) должен быть равен целой части от 2л, т. е. должен быть равен Injp, где р — какое-либо целое число. С другой стороны, известно, что угол в правильном n-угольнике равен п(п—2)/п. Поэтому мы получаем равенство
л (п—2)_2п
п ~~ р ' откуда видно, что величина
2/1 и — 2
должна быть целым числом. Но это имеет место лишь при п=3, 4, 6.
Таким образом, мы видим, что в решетках возможны далеко не все виды симметрии. Это приводит к тому, что существует лишь сравнительно небольшое число типов симметрии решеток Браве. Эти типы называются кристаллическими системами. Перечислим их здесь.
1. Кубическая система. Наиболее симметричной решеткой Браве является решетка, имеющая симметрию куба (вместо того чтобы перечислять оси и плоскости симметрии решетки, мы просто указываем геометрическую фигуру — в данном случае куб,— обладающую такой же симметрией).
Мы получим такую решетку, расположив атомы в вершинах кубических ячеек. Но это не единственный способ построения решетки Браве с симметрией куба. Очевидно, что мы не нарушим кубической симметрии, если поместим по атому также и в центрах всех кубических ячеек; в то же время все атомы — в вершинах и в центрах кубических ячеек — будут иметь одинаковое взаимное расположение (имеют одинаковых соседей), т. е. относятся все к одной решетке Браве. Можно также построить кубическую решетку Браве, добавив к атомам в вершинах кубических ячеек еще по атому в центрах всех их граней. § 43]
КРИСТАЛЛИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
137
Кубическая система
Гексагональная
Тетрагональная система
Ромбоэдрическая система
Z1 Л
с
ьb /
U V
Ромбическая система
Моноклинная система
Триклинная система
Рис. 14. 138
У1IFHITP о симметрии
[гл. VI
Таким образом, существуют три различных решетки Браве, относящихся к кубической системе. Их называют простой, объемноцентрированной и гранецентрированной решетками (и обозначают соответственно символами Р, I и F). На рис. 14 показано расположение атомов в ячейках этих решеток.
Кубическая ячейка простой решетки Браве является в то же время и элементарной ячейкой. Ячейки же решеток /и F отнюдь не являются элементарными; это видно уже из того, что в этих ячейках находится более чем по одному атому. На рис. 15 показаны (жирными линиями) элементарные ячейки всех трех типов кубических решеток. В кубической объемноцентрированной ячейке находятся два атома (например, атомы / и 1' на рис. 15), а в гранецентриро-
Рис. 15.
рисунке); остальные атомы надо считать относящимися к следующим ячейкам. Отсюда следует, что объемы элементарных ячеек в объемноцентрированной и гранецентрирован-ной решетках равны соответственно о:,/2 и с:і/4, где а — длина ребра основного куба.
Длина а называется постоянной решетки. Это есть единственный численный параметр, которым должна характеризоваться кубическая решетка.
Элементарные ячейки в объемно- и гранецентрирован-ных решетках сами по себе имеют форму, не обладающую симметрией куба, свойственной решетке. В этом смысле изображение структуры кристалла с помощью таких ячеек не столь наглядно выявляет его симметрию, как изображение с помощью кубических, неэлементарных ячеек. Поэтому обычно характеризуют расположение атомов в кристалле именно по отношению к этим последним ячейкам. При этом § 43] КРИСТАЛЛИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
139
пользуются прямоугольной системой координат с осями X, Y, Z вдоль трех ребер кубической ячейки, а в качестве единицы измерения координат выбирается постоянная а. Так, атом, находящийся в центре кубика, характеризуется тремя координатами 1I2, 1I2,1I2; координаты 1I2, 1I2, 0 относятся к атому, находящемуся в центре грани, совпадающей с плоскостью XY, и т. п.
2. Тетрагональная (или квадратная) система. Если вытянуть куб вдоль направления одного из ребер, получится менее симметричная геометрическая фигура — прямая квадратная призма. Ее симметрия отвечает симметрии решеток Браве тетрагональной системы.
Таких решеток существует два вида: простая и объемноцентрированная (их ячейки тоже изображены на рис. 14). На первый взгляд кажется, что можно было бы построить решетку с той же симметрией, добавив к ячейке простой решетки еще по одному атому в центрах оснований призм (рис. 16). Но легко видеть, что такая решетка свелась бы снова к простой тетрагональной решетке Браве просто путем другого выбора основной квадратной призматической ячейки, т. е. мы не получаем ничего нового. Действительно, соединив атомы в центрах оснований двух соседних ячеек с атомами в их вершинах (как это показано на рис. 16), мы получим новую призму, не отличающуюся по своей симметрии от исходной, но содержащую атомы лишь в своих вершинах. По аналогичной же причине не существует гранецентрированной тетрагональной решетки Браве — она сводится к объемноцентрированной.
