Основы физики плазмы - Кролл Н.
Скачать (прямая ссылка):
В ОГРАНИЧЕННОЙ ХОЛОДНОЙ ПЛАЗМЕ В ПРИСУТСТВИИ КОНЕЧНОГО МАГНИТНОГО ПОЛЯ
В § 8 мы рассмотрели природу волн пространственного заряда в ограниченной плазме в случаях, когда магнитное поле отсутствует и когда плазменный цилиндр находится в бесконечном аксиальном магнитном поле. В случае бесконечного аксиального магнитного поля выкладки существенно упрощались, поскольку роль магнитного поля сводилась лишь к ограничению движения электронов в одном направлении и оно не оказывало никакого влияния на динамику волн пространственного заряда.
Можно получить полное решение уравнений Максвелла и в случае определенных конечных значений постоянного магнитного поля, но вид полученных решений очень сложен и разобраться в свойствах таких волн трудно. Вместо этого достаточно заметить, что максимальная фазовая скорость волн пространственного заряда [выражение (4.8.17)] меньше скорости света, т. е. волны пространственного заряда — медленные волны. В тех ситуациях, когда фазовая скорость волны, соответствующая решению уравнений Максвелла, оказывается много меньше скорости света, можно иногда пренебречь магнитным полем волны, считая приближенно
Такое приближение позволяет определять электрическое поле с помощью скалярного потенциала и, следовательно, упрощает рассмотрение. Данное приближение излишне в случаях B0 = оо и B0 = 0, когда точное решение имеет простой вид, но оно является основным облегчающим фактором при изучении волн пространственного заряда, распространяющихся в ограниченной плазме в присутствии конечного магнитного поля.
Предполагая электрическое поле волны потенциальным, можно записать его через соответствующий потенциал Cp1:
Дифференциальное уравнение, которому должен удовлетворять Cp1, имеет вид
VxE1 = I-Bj=O.
(4.13.1)
E=-Vcpi.
(4.13.2.)
VeS-VcP1 = 0,
(4.13.3)
где 8 — тензор диэлектрической проницаемости холодной замагниченной плазмы, определяемый выражением (4.9.6).
ВОЛНЫ В ПЛАЗМЕ. ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ
167
Предполагая снова волновой характер решения в направлении магнитного поля, уравнение (4.13.3) можно записать следующим образом:
(Vr— (Mr)^-NO = O. (4.13.4)
Решения этого уравнения в цилиндрических координатах имеют вид
ф1 = [C1Zn (Tr) + C2Nn (Tr)] (4.13.5)
здесь величина T определяется выражением
J2=__A2ii. (4.13.6)
Если рассматривается волновод, заполненный плазмой, то решения должны быть ограниченными при г = 0, откуда ,следует C2 = 0. На стенке волновода
<Pi (г = а) = 0, поскольку тангенциальная компонента электрического поля
должна обращаться в нуль. Это условие выполняется, когда
Jn (Ta) = 0, (4.13.7)
Ta = pnvi
здесь pnv — v-й корень функции Бесселя первого рода п-то порядка. Таким образом, величина T представляет собой число, связанное с конкретной модой и радиусом волновода.
Используя (4.13.6) и (4.13.7), можно получить следующее дисперсионное уравнение:
/ ка \ 2_ __ /(c0Ct? c^2) g\
\ Pnv ) ~ ~ 1-0)2/0)2
Для распространения волн необходимо, чтобы выполнялось условие /с2 > О, а это возможно, только если S1 < 0 или S3 < 0. На фиг. 80 приведены дис-
(4.13.8), при (осе < <йр частотой (о < (Ор, пред-
персионные кривые, определяемые уравнением и (осе > (Op. В случае (осе > (ор, кроме моды с сказываемой из рассмотрения случая B0 = оо, в плазме возникает верхняя гибридная мода с характерной частотой в диапазоне (осе < (о < Y(°р + Неинтересная особенность этой моды состоит в том, что она является обратной волной, т. е. ее фазовая и групповая скорости направлены навстречу друг ДРУГУ (г^гр < 0). По мере дальнейшего уменьшения магнитного поля (о)р > (Oce) волны, как это можно заметить, распространяются на частотах, меньших циклотронной частоты. Обратная волна в этом случае распространяется в диапазоне частот о)„ < (о <
COr
, л 2 COce.
<v
Если постоянное магнитное поле обращается в нуль, то верхняя полоса пропускания сводится к плазменному резонансу на частоте (ор, а нижняя полоса пропускания сводится к (о = 0. В обоих случаях волны перестают распространяться. Следовательно, как это ни странно, волновод с плазмой не пропускает волны пространственного заряда в отсутствие магнитного поля.
Фиг. 80. Дисперсионные кривые для волн, распространяющихся в заполненном плазмой волноводе в присутствии конечного аксиального магнитного поля.
168
ГЛАВА 4
Однако в волноводе, свободном от плазмы, волна будет распространяться даже при B0 = 0. Дело в том, что заполнение волновода плазмой препятствует распространению поверхностных волн (см. § 4).
Задача 4.13.1. Найдите систему связанных скалярных дифференциальных уравнений для E11 и Blz в случае волн в ограниченной плазме. Сравните полученный вами результатат с данными, приведенными в статье [20].
Задача 4.13.2. В рамках квазистатического приближения выведите дисперсионное уравнение для волн, распространяющихся в плазменном столбе радиусом а, помещенном в полый проводящий цилиндр радиусом Ь, в присутствии конечного аксиального магнитного поля.
Задача 4.13.3. Дисперсионная кривая (фиг. 80) для обратной волны, распространяющейся в волноводе с плазмой в диапазоне частот (УфУгр<0) (Ор < со <]/Г(0р + со?,, при о)р>о)сгив диапазоне (ос* < о < Yсор + сole при о)р < сосв, имеет область с > с. Это означает, что дисперсионное уравнение в этой области, полученное в рамках квазистатического приближения (уф с), по-видимому, неверно. G помощью точного дифференциального уравнения, найденного при решении задачи 4.13.1, исследуйте порог при к = 0, предполагая, что критическая частота
