Основы физики плазмы - Кролл Н.
Скачать (прямая ссылка):
Задача 4.9.2. Проверьте правильность записи уравнения (4.9.16).
Уравнение (4.9.16) соответствует трем уравнениям для каждой компоненты электрического поля. Эти три уравнения можно записать в матричном виде
--S- 0
гв2
О
^cos2G — -j J —sin 0 cos 0 — sin 0 cos 0
sin20-^
E1X
Ё,
Ё,
і У
IZ
= 0.
(4.9.17)
Данная система однородных алгебраических уравнений имеет нетривиальное решение, если детерминант, составленный из ее коэффициентов, обращается в нуль. Условие обращения рассматриваемого детерминанта в нуль записывается в виде
*„2 Q _______(1/tt2 —I/Er) (І/П2 1/вь) // Q |оч
1S (1/Л2_1/ез) [l/П*—1/2(1/вЛ + 1/еь)] ’
где gr = G1 + є2 и Gl = S1 — S2. (Как мы увидим ниже, диэлектрические проницаемости єн и Gl относятся к волнам с правой и левой круговой поляризацией соответственно.)
Задача 4.9.3. Проверьте справедливость условия (4.9.18).
Если известна поляризация собственных векторов, то уравнения Максвелла можно записать в виде трех скалярных уравнений типа GaEa = 0. В ряде книг 1J величины Ga называют диэлектрическими проницаемостями.
Уравнение (4.9.18) представляет собой дисперсионное уравнение для волн, распространяющихся в холодной бесстолкновительной однородной плазме, помещенной в однородное магнитное поле. Оно называется иногда уравнением Эпплтона— Хартри. При заданных плазменной частоте
Фиг. 69. Система координат, используемая при изучении распространения электромагнитных волн в замагниченной плазме.
*) Cm., например, уравнения (6.76) и (6.97) в книге [13].
ВОЛНЫ В ПЛАЗМЕ. ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ
151
о)р, циклотронной частоте сос, частоте волны со и направлении распространения под углом 0 к направлению магнитного поля уравнение (4.9.18) можно разрешить относительно показателя преломления п, который определяет скорость распространения волны в заданном направлении. Из результатов предыдущего рассмотрения следует, что для изучения какой-либо конкретной волны, распространяющейся в плазме в присутствии магнитного поля, необходимо задать много параметров. Наоборот, волны в плазме в отсутствие магнитного поля, как мы показали выше, определяются в основном плотностью и температурой плазмы. В следующих параграфах мы рассмотрим простейшие случаи распространения волн, а именно параллельно и перпендикулярно магиитному полю.
Задача 4.9.4. Покажите, что в случае 0=0 уравнения Максвелла
(4.9.17) можно записать в виде
(п2 — Єд) Er = 0,
(п2 — гь) El = 0,
E3E3 = O.
а) Найдите Er, El и E31 б) покажите, что sR (со) = &L (— со) и в) что
fY»2 ел 2 .
8д=1-
eL=i-
83 = 1-
CO(C)-(Oce) (О (to+ (Oci)*
^pe ^pi
CO ((0 + (Oce) CO(O)-(Oci) ’
Wpe “pi
G)2 (О2
В последних выражениях использованы следующие обозначения:
2 4 ППеЄ2 2 4 Jltt/Є2
<=^г>
еВп eBi
COce = —- , (Oci =
т п 7
____0_
ШіС
Задача 4.9.5. Покажите, что в случае 0 = я/2 уравнения Максвелла
(4.9.17) можно записать в виде
Ge Ee = О,
E0E0 = О,
Найдите еЕ и S0.
§ 10. ВОЛНЫ В ХОЛОДНОЙ ЗАМАГНИЧЕННОЙ ПЛАЗМЕ, РАСПРОСТРАНЯЮЩИЕСЯ ПАРАЛЛЕЛЬНО МАГНИТНОМУ ПОЛЮ (E0 = О, B0 = В0ъ) 10.1. Высокочастотные волны
Полагая в уравнениях. (4.9.17) 0 = 0, можно получить два решения для частоты волн с заданной длиной волны, или, что эквивалентно, для показателя преломления п = kclсо. Полезно исследовать эти решения в различных диапазонах частот. В случае когда частота волн много больше циклотронной частоты ионов, т. е. со сос*, можно использовать для S1, S2 и S3 дисперсионные уравнения (4.9.10) — (4.9.12). Тогда два решения уравнения
152
ГЛАВА 4
4.9.17), записанные для волнового числа к, имеют вид
(4.10.1)
(4.10.2)
(4.10.3)
поляризованной по кругу. Таким образом, kR — это волновое число волны, с круговой поляризацией, которая вращает электроны в направлении их циклотронного движения, т. е. волны с правой круговой поляризацией. Аналогично kL — постоянная распространения волны с круговой поляризацией, которая пытается вращать электроны против их циклотронного движения, т. е. волны с левой круговой поляризацией. Соответствующие законы дисперсии приведены на фиг. 70 в виде зависимости со от к (см. также фиг. 72). Кривая, пересекающая ось со в точке (O1 = V2(oce [(1 + 4(0^/(0?1/2 — 1], представляет собой график решения (4.10.2), а кривая, которая пересекает ось (о в точке (O2 = V2(oce [(1 + 4(Ор/(Oce)1/2 + 1], есть график решения (4.10.1). Каждое из решений имеет вторую ветвь; при к оо частота левополяризованной волны асимптотически стремится к (о = —(осе, а частота правополяризованной волны — к (о = +(осе. При к-+- 0 для низкочастотных ветвей более не справедливы уравнения (4.10.1) и (4.10.2), поскольку при выводе их предполагалось, что (о (Oci. Зависимость (4.10.1) получена в предположении, что магнитное поле мало, т. е. (осе (ор. Характерная особенность рассматриваемой области параметров состоит в том, что существует область частот (осе < о < (O1, в которой никакие волны не распространяются вдоль магнитного поля В. Заметим, что (O1 (ор при ор (осе, т. е. происходит отсечка электромагнитных волн при частотах ниже плазменной частоты, которая была рассмотрена нами в § 5 настоящей главы. В отличие от плазмы без магнитного поля электромагнитные волны в замагниченной плазме вновь распространяются при частотах ниже циклотронной частоты.
