Фотоны и нелинейная оптика - Клышко Д.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Однако термостат не только демпфирует движение системы, но и неизбежно (при T Ф 0) раскачивает ее случайным образом. Наглядным и важным историческим примером является броуновское движение пылинки. Под действием бесчисленных ударов молекул воздуха ее первоначальное поступательное движение затухает (или устанавливается на стационарном уровне при наличии внешней силы) и сменяется диффузионным хаотическим движением. Знаменитое соотношение Эйнштейна между коэффициентами диффузии и трения положило начало серии флуктуационно-диссипативных теорем.
Для описания броуновского движения классических моделей разработано два важных и, как правило, эквивалентных метода; ланжевеновский, основанный на добавлении в уравнение движения, кроме сил трения, еще «шумовых» сил (их коррелятор определяется через константу затухания с помощью ФДТ), и марковский, основанный на уравнении Фоккера — Планка для условной вероятности перехода системы из одного состояния в другое. В последнее время в связи с развитием квантовой оптики и электроники эти методы были обобщены для описания броуновского движения квантовых систем, например, гармонического осциллятора или моды резонатора [5].
Наиболее общий метод одновременного описания флуктуаций в слабо-неравновесных системах и процессов релаксации основан на так называемых кинетических уравнениях, первое из которых было введено Больцманом около ста лет назад. Мы рассмотрим ниже в качестве примера один из простейших вариантов вывода кинетического уравнения. 74
НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ КВАНТОВОЙ IUEXAHTTKH [ГЛ. 2
Кинетическое уравнение для матрицы плотности. Пусть в замкнутой системе можно выделить две части, так что ее оператор Гамильтона имеет вид
Ж = + Жв +W = Ж0 + Г, (1)
где Ж а может включать действие внешних сил.
Согласно уравнению (2.3.8) матрица плотности всей системы в представлении взаимодействия изменяется по закону (индекс представления «О» опускаем):
^zr = 4jriw(t),p(t0)+&p(t)], (2)
где
і і Ap ^ р (Z) - р (to) = -L 5 dt' [ IT (t'), р (Ol- (3)
і о to
Пока все точно. Сделаем в последнем выражении следующие приближения:
р (Z') « ра (Z) рв (Z0) = р (t), (4)
Pb (Z0) = p(p, Z0 = —схз
(индекс T означает равновесную величину с температурой у); тогда (2) принимает вид
t
-§- = № 5 dt'[W(t), [W(t'),-p(t)\] (5)
— оо
(мы опустили линейное по 'W слагаемое, дающее статическое возмущение). Фактически нас интересует лишь поведение системы А, т. е. ее матрица плотности рл (Z) = SpBp(Z). Применение операции Sps к обоим частям (5) и приводит к кинетическому уравнению для оператора рл (Z) [И, 13, 150].
Приближение (4) означает пренебрежение обратным влиянием системы А на В и пренебрежение «быстрыми» изменениями рл (Z) в результате отдельных «столкновений». Это по существу марковское приближение, согласно которому поведение системы в данный момент не зависит от ее достаточно далекого прошлого. Кроме того, учет в (5) лишь слагаемых второго порядка по V (т. е. лишь «двухчастичных столкновений») предполагает слабость взаимодействия.
Если мы найдем решение (5) при заданном начальном условии ра (Z1), то мы можем определить произвольную одновременную наблюдаемую в момент t по формуле
</ (0> = Spa {Ра (Z) / (г)}, (6) § 2.5] РЕЛАКСАЦИЯ И КИНЕТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ 75
гДе / (0 — оператор в представлении взаимодействия по V. Если внешних сил нет, то рА (t) при 17^t1 + т стремится к равновесной матрице плотности с температурой термостата (т — характерное время релаксации); при этом правая часть (6) должна стремиться к стационарному значению </>(Т). При наличии б-образной или гармонической силы (6) определяет временную или спектральную восприимчивость системы.
Кинетические уравнения для средних. Пусть / — оператор произвольного параметра системы А. Из (5) и (6) следует
d<f> с / df . , d?A\
IT = sPa Ы^^т) =
t
-OO
где первое слагаемое описывает движение наблюдаемой без учета
системы В; согласно (2.1.13) при df/dt = О
= <8>
Как легко проверить, операторы под знаком Sp можно циклически переставлять:
abc = cab = Ъса, а [Ъ, с] = [а, Ъ] с,
а [Ь, [с, сШ - [[a, b], c]d, (9)
и поэтому (7) можно переписать в виде
і
= \ dt'([[f(t),W(t)],W(t')]y, (10)
—оо
где усреднение переменных системы А производится с помощью матрицы плотности рд (Z), взятой в представлении взаимодействия в момент времени Z, а усреднение переменных термостата — с помощью равновесной матрицы плотности.
Пусть энергию взаимодействия можно представить в виде «скалярного произведения» (2.4.1):
^=-M (И)
з
тогда (переобозначим произвольный оператор системы А через g)
-iSi=,in--
-<mm </'!/¦« 1», (12) 76
НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ КВАНТОВОЙ IUEXAHTTKH [ГЛ. 2
где / = fj (Z), /' = fj'(Z') и аналогично для F, F'. Равновесные вторые моменты термостата <FF'y(-г> и (F'Fy1) связаны формулой (2.4.15) и могут или считаться известными феноменологическими характеристиками, или рассчитываться с помощью простых моделей (удобно представлять термостат системой гармонических осцилляторов [33 или набором двухуровневых атомов — см. § 4.5).
