Фотоны и нелинейная оптика - Клышко Д.Н.
Скачать (прямая ссылка):
71
Здесь фурье-образы % и ср пропорциональны б (O)1 + W2 + ы3) и поэтому имеют по два независимых аргумента. Из (22) и (35) следует
</i2) (to)> = J dio'XiJk(— со, со — со', со') Fj (со — со') Fli (со'). (47)
Как легко убедиться, операция (33) в спектральной форме переходит в операцию комплексного сопряжения и умножения на s = = SiS2S3 = ±1. Пусть s = l и B = 0 тогда ф<т> и Ф<и> — действительны и
X321 + в. с. = (2л)"2 j d(a3 da2 dcoje^'»+0«-+^^ Re Хз^б (co3 + co2 + Co1).
(48)
В результате (45) принимает вид (полагаем jj = jf) (pin = - Re i^r.xit + - ЖіЖ5х?1> =
= - -J Re Ж- {Ж, (x?l - xiVi) + ^5 (xS - А (Щ где теперь
Г / hi? \ "-1
jr±n = [exp=- + 1). (50)
Итак, трехиндексные восприимчивости и равновесные моменты взаимно однозначно связаны друг с другом согласно формулам (49) й (36). Выше мы рассмотрели связи между моментами ср',"', описывающими флуктуации в равновесной системе, и восприимчи-ВОСТЯМИ Х<г_1): определяющими изменение ф(1) (F) под действием внешней силы (накачки), для случаев гг = 2 и 3. Нетрудно по аналогии с (36) определить х(3) через фо4\ однако, «обернуть» эту связь невозможно [149].
Представляет интерес также изменение ф(2) (F) под действием накачки. Например, в [148] линейную по накачке часть ф® удалось выразить через х(2) и температуру. Эту связь также можно считать квадратичной ФДТ.
Приближенная кубическая ФДТ. Выражение для квадратичной по накачке части флуктуаций ф22) через кубическую восприимчивость х(3) было найдено в работе [145] (см. также [И, 146, 147]) при пренебрежении линейным поглощением. Мы приведем здесь эту связь, дополнив ее слагаемым, описывающим корреляцию стоксовых и антистоксовых спектральных компонент [136]. Общее обсуждение связей между различными четырехиндексными величинами можно найти в [149, 188].
Рассмотрим модель, описывающую нерезонансное комбинационное рассеяние света. Пусть на рассматриваемую равновесную систему действует монохроматическая «накачка» с амплитудой 72
НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ КВАНТОВОЙ IUEXAHTTKH
[ГЛ. 2
Fl и частотой col, далекой от собственных частот системы. Задача состоит в определении вторых моментов системы, возмущенной накачкой, через ее восприимчивость %(3> по отношению к слабой зондирующей силе («сигналу») F (и) с частотой со при условии, что только разностная частота Q = со — col близка к одной из собственных частот системы со0.
В общем случае нетрудно найти формальное выражение для тензора четвертого ранга х<3)> связывающего первый момент (отклик) (jy с кубом внешней силы Fs, через собственные частоты, матричные элементы и населенности системы (см., например, [10, 11]). В спектральном представлении каждая компонента этого тензора — функция трех частот, которую мы обозначим Xifw4 = Xijki (o>i; W2, Юз, м4), где индекс і и четвертая частота W1 = Co2 + W3 4- Co4 относятся к отклику (со = —и). По определению тензорная функция % инвариантна к операции произвольной перестановки ее независимых частотных аргументов со2, со3, Co4 и соответствующих декартовых индексов /', к, I; например,
„,Ї234 Д324 1432 - /гп
Xijkl=Xikjl=Xilkj- (51)
Нас здесь интересует часть отклика, квадратичная по амплитуде монохроматической накачки Fl и линейная по фурье-компоненте сигнала F (со):
<fi (®i)> = йи P^Fk*Fг (co1) + ^FfFkFf ((da) =
= Axl^ (Co1) F1 (Co1) + Axlf (Co1) Ff (со2), (52)
где CO2 = 2col — OJ1. Первое слагаемое в (52) соответствует эффекту рамановского усиления (?2< 0) или поглощения (? 0), пропорционального Im Ахгг (ю). Второе слагаемое описывает трехчастотный параметрический эффект, связывающий стоксовы и антистоксовы компоненты (этот эффект используется в активной спектроскопии [139]).
Пусть ип^(Оо (п = 1, 2, L), тогда с помощью теории возмущения можно найти связь между вторыми моментами возмущенной накачкой системы и Д%, аналогичную точной линейной ФДТ (24):
</i (со) fj (со')> = 4" o (u> + W) JV (со' - coL) Im Axlf (со) +
+ ~ 6 (со + со' — 2col) JV (col — со) Im Axlf («') (53)
(для простоты матричные элементы fmn считаются действительными). В отличие от линейной ФДТ, здесь аргументом температурного множителя N является разностная частота +Q и, кроме того, появилась корреляция между разночастотными компонентами, сдвинутыми на двойную частоту накачки 2а>ь (квадратичная ФДТ описывает корреляцию компонент, отличающихся на соl). § 2.5]
РЕЛАКСАЦИЯ И КИНЕТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ 73
§ 2.5. Релаксация и кинетические уравнения
Предполагая в предыдущем разделе существование независящего от начальных условий отклика системы на действие внешней силы, мы неявно постулировали наличие процессов релаксации. Эти процессы приводят к «забыванию» системой ее начального состояния, к установлению стационарного отклика при воздействии гармонического возмущения и к возвращению системы к тепловому равновесию после выключения силы. Релаксация вводится в динамическую теорию с помощью «термостата» — второй системы, имеющей бесконечное число степеней свободы и, следовательно, бесконечную длительность «цикла Пуанкаре», т. е. периода повторения состояния. В классические теории релаксация легко вводится феноменологически — добавлением в уравнение сил трения, пропорциональных скорости. В динамические квантовые модели бесконечно слабая релаксация и необратимость уравнений движения вводится с помощью адиабатического множителя eEi при энергии возмущения (2.3.23).
