Фотоны и нелинейная оптика - Клышко Д.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Mо = Mf%0, 0Il0 (t0) = /. (За)
G другой стороны, гейзенберговские операторы 1J /г (Z) и начальный вектор состояния I to y выражаются через шредингеровские операторы и векторы с помощью полного (точного) оператора эволюции:
fF(t) = °ІІЧш(і)%, \t0y = %4ty. (4)
Оператор эволюции определен уравнением
ІН% = ж'и%, % (to) = /. (4а)
Из сравнения (3) и (4) можно найти связь представлений Дирака и Гейзенберга:
/° (t) = S /г (t) S+, |z>» = §|z0>, (5)
где мы определили еще один унитарный оператор называемый оператором рассеяния (при t — Z0 = оо):
S=tUfU, iHg = W°$. (5а)
Здесь энергия возмущения в представлении взаимодействия W0 определяется по правилу (3), а уравнение для S находится с помощью (За) и (4а) следующим образом:
іП ~6Ht6H = %%Жт% - Жт%+0% = Ш0Гш%0.
Сравнение (3) и (4) показывает, что гейзенберговские операторы в нулевом порядке теории возмущения (когда V = О, % = = 6U0, S = I) совпадают с дираковскими:
/Г (t) =f(t)+fi (t) + ...
Дифференцируя (3), найдем с помощью (За) уравнения движения для операторов и векторов состояния в представлении взаимодействия:
+ (6) __ = -WV0W- W
Мы иногда будем отмечать операторы в представлении Гейзенберга индексом «Г». «о
НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ КВАНТОВОЙ IUEXAHTTKH [ГЛ. 2
Отсюда легко найти и уравнение для матрицы плотности (2.2.42) в представлении взаимодействия:
IP", (8)
Таким образом, в представлении взаимодействия операторы зависят от времени «тривиально», без учета возмущения, которое влияет лишь на движение векторов.
Другие представления. Можно, наоборот, перенести тривиальную зависимость от времени на вектор состояния. Такое представление образуется из шредингеровского с помощью унитарного оператора
M = 6U6IIt = (9)
Аналогично (3) или (4) имеем
/' = = %ofv%t,
\ty = ^+\t) = %0\t0), ¦[/',і
W o/' I 1 W ^tH1 0^
dt dt ih
Иногда удобно использовать представление «медленно-меняющихся амплитуд» = S+6M0S):
. IOm = ^I<> = @|«о>, (H)
dt — dt ^ ih и ' ^ J-
Итак, динамику квантовой системы можно описывать в различных эквивалентных представлениях, связанных унитарными преобразованиями:
/Ш = = %0f%t = = SZmS+, (12)
|0 = % IZ0) = %0 \ty = M\t)=g (13)
В § 3.3 эти преобразования будут рассмотрены на простом примере линейного осциллятора, возбуждаемого классической переменной силой.
Напомним, что при смене представления векторные и тензорные равенства типа | ф> = f | г|)>, / = gh сохраняют свой вид, и поэтому в них можно не писать индексы представлений (это не относится к равенствам между операторами, взятыми в различные моменты времени или содержащими производные по времени от операторов). Унитарные преобразования сохраняют также и ска- § 2.3]
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
61
лярные величины, например, «длины» векторов, матричные элементы и шпуры тензоров.
Заметим, что оператор M0 коммутирует с %0, и поэтому
M0= M01, M0 = Mo = rUtM0cU0; (14)'
операторы %о, % определены через шредингеровские операторы
Mla и Mm.
Теория возмущений для оператора рассеяния. Будем искать оператор S с помощью теории возмущений:
ОС
«= 2 $(т\ (15)
т=О
Подстановка этого ряда в (5а) дает
mg(m)=^0Sim-1K (1б>
так что при т, ^ 1
t 'ш-1
S(m\t)=(ih)-m ^dtl... J (17)
и и
Обозначим
(h) = Wyt, е (х > 0) = 1, е (х < 0) = 0, 9 (Zm - tk) = Qmkf тогда
(m)_
mi
(18),
= (ih)-« J dh . . . dtm Qu... Qm-UmW 1 ...V, h
t
S(m)+ = (_ ihym j dh _ dtm Q21 _ _ Qmi n_iWi _ _ _ T
U
(в последнем равенстве (18) мы сделали перестановку (Z1, Zm), (Z2, Zljw), . . .). Можно убедиться, что (18) удовлетворяет условиям унитарности оператора 8:
S(1) + S(1)+ = о, Sw+ Sim-Slin = O, ... (19)
Формула (18) дает алгоритм для определения действия возмущения на наблюдаемые величины. Например, подставив (18) в (5), мы выразим произвольный оператор в представлении Гейзенберга через невозмущенные операторы системы:
OO
/<»0(0= S /рт\ (20)
P=O
( t
f(m) = s(P)+/0S(m-p) = 1)Р(Ш)-т J CiZ1 ... J dtm X
<0 fo
X 021 . . . Bpi P-^1Bph-Jj р+2 . . . Qm-Xi m Wl- ..Wpf (Z) і -^m. (21) 62 НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ KBAHTOBOIt МЕХАНИКИ [ГЛ. 2
Можно показать, что это выражение эквивалентно следующему:
t tIn-I
/(•»>(*) = (ift)-™j dt!... J dtm [... If0 (t), Гіі ..., 1Гт\- (22)
и 'о
Формула (20) удобнее для вычислений второго и более высоких порядков теории возмущений, так как она содержит т + 1 слагаемых (вместо 2т в многократном коммутаторе в (22) ).
До сих пор мы нигде не использовали условия t Z0. Уравнения движения предсказывают как настоящее по прошлому, так и прошлое по настоящему. Но обычно предполагается, что t Z0 и что до начального момента t0 возмущение отсутствовало. Удобно полагать, что Z0 = —оо и что возмущение плавно («адиабатически») включается, — например, по экспоненциальному закону!
cIT (t) lim е^ІГ (t). (23)
?->¦+0
Вероятность перехода. Важным понятием квантовой механики является вероятность перехода. Рассмотрим сперва замкнутую систему, в которой W — энергия взаимодействия между ее частями. Пусть I п У = о|зп (Z0) — собственные невырожденные состояния невозмущенного гамильтониана: — rSn) | п > = О и пусть при Z = Z0 система находилась в одном из этих состояний: I Z0 У = I п0у. Заметим, что так как | п У — не точные энергетические состояния, то тем самым мы предполагаем, что энергия всей системы не имеет определенного значения, т. е. флуктуирует (вообще для замкнутой системы обязана сохраняться лишь средняя энергия (ЖУ, а дисперсия <Ж2У — <Ж)2 может быть и не равна нулю).
