Фотоны и нелинейная оптика - Клышко Д.Н.
Скачать (прямая ссылка):
ак = (ІПщ)-1!-^^ + ірк).
Легко найти обратные к (16), (17) преобразования:
Ek = ick (ак - а|) = /я/13 [— Pk — Pk + ^k (?» — <1к)], Hk = ick (ак + а|) = /я/L3 \— рк + Pk + ІЩ (Qk + Qk))-
(18)
В новых переменных разложение поля по плоским волнам согласно (12), (14) и (18) имеет вид
E (г) =і2іекскакеік г -f к. е.,
* л (19)
H (г) = і 2j к X ekckakelk-r + к. с. к
Канонические уравнения поля и функция Грина. Найдем уравнения движения для переменных ак. Для этого подставимS 3.1І
КАНОНИЧЕСКИЕ ПЕРЕМЕННЫЕ
sa
(18) в уравнения (10) и сложим их. В результате получим ак = — ткак
І V jSrj- (2°)
Уравнения для действительных переменных согласно (17) и (20) имеют вид (индекс к опускаем):
4 = P-Y ^T Г> P = -^V + V7^Lz Г- (21)
Таким образом, в feZ-представлении уравнения Максвелла при заданных источниках свелись к системе независимых осциллятор-ных уравнений. Отсюда следует, что электромагнитное поле ведет себя как набор гармонических осцилляторов.
Не представляет труда найти общее решение уравнения (20):
_ t
a(t) = a (to) еіи ('•-') + і YS dtiei<a <22)
и
Если t t0, то второе слагаемое здесь называется запаздывающим решением, а при обратном неравенстве — опережающим. В последнем случае ток в будущие моменты времени влияет на поле в настоящий момент, так что согласно принципу причинности опережающее решение не имеет физического смысла (хотя оно и верно с чисто математической точки зрения).
Пусть t0 = —оо , тогда вынужденную часть (22) можно представить в виде
а' W=1 Y-^Ш- SdtiG {t -h) j (23)
где функция
G (t) == Є (t) е~ш (24)
называется запаздывающей функцией Грина. Удобно определить также опережающую функцию Грина
Gadv (t) = -Є (-І) е-»®» = -G* (-t), (25).
так что
G (Z) - Gadv (t) = (26)
Чтобы найти вынужденные решения и функции Грина для Ek. и Hk, достаточно подставить (22) в (18):
t
Ek (t) = — 4я ^ (It1 cos [COfc (t — Zi)] jk (Z1),
(27).
Hk (Z) = 4яі ^ Cit1 sin [(% (Z — Z1)] д. (Z1).-84
ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ оптики
[ГЛ. 3
Далее можно найти функции Грина в W-представлении, заменив суммы по плоским волнам на интегралы.
Роль размеров нормировочного объема. Пусть токи к моменту t прекратились, тогда согласно (22) поле осциллирует с собственными частотами о к = ск и с неизменной амплитудой. Очевидно, что такое решение имеет физический смысл лишь при определенных ограничениях на t и ZA Ясно, что при конечном L и отсутствии токов во внешнем пространстве волны рано или поздно уйдут из L3 на бесконечность и поле обратится в нуль, что противоречит (22). Таким образом, фурье-амплитуды поля имеют строгий смысл лишь при L —оо или на ограниченных интервалах времени (когда локализованные волновые пакеты не успеют покинуть L3) или, наконец, в случае стационарных источников.
С другой стороны, решение (22) не учитывает приходящие в Ls волны от внешних источников. Соответствующие им амплитуды могут в общем случае произвольно зависеть от времени, и поэтому их нельзя включить в начальные амплитуды (первое слагаемое в (22)), осциллирующие с определенной частотой. Все эти осложнения возникают при! конечных объемах квантования и отпадают, если полагать L3 -»- оо.
Однако понятие частично-локализованных фурье-амплитуд и связанное с ними в случае стационарно-флуктуирующих полей понятие яркости света (§ 1.1) в «точке» г с направлением распространения к и частотой ск очень удобно и наглядно. Оно вполне законно в рамках геометрической оптики и является основным понятием для описания процессов переноса света в мутных средах.
Итак, мы перешли от динамических уравнений в частных производных (1) к системе обыкновенных дифференциальных уравнений (20) или (21) для счетного множества независимых переменных. Эти уравнения совпадают с уравнением движения гармонического осциллятора, и их не представляет труда «про-квантовать», т. е. найти по рецептам предыдущей главы перестановочные соотношения для различных переменных! и удобные базисные системы векторов.
§ 3.2. Квантование электромагнитного поля
Гамильтониан поля. Прежде, чем определить с помощью скобок Пуассона (2.1.8) коммутаторы полевых переменных, убедимся, что введенные формулой (3.1.17) переменные qjt, действительно являются каноническими. Для этого мы составим из них функцию Гамильтона Ж и проверим эквивалентность уравнений движения в гамильтоновой форме (2.1.7) уравнениям Максвелла.§ 3.2]
КВАНТОВАНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
85
Будем исходить из следующего выражения для энергии ПОЛЯ в объеме L3 при заданных токах:
M(t) = Mo + W(t), (1)
Se0 = -^r Jdr (E2 + H2), (2)
L3
^(0=-4" \drA-j{t), (3)
l3
где А—векторный потенциал (rot А = H, div А = 0, A k —
= Zfc X HkIk2, Aum = Hkv/ik, Ak = — CiSrfc).
В fcZ-представлении эти выражения с учетом условий ортогональности (3.1.7) и действительности (3.1.9) принимают вид
к
W (Z) = H3JiHkJt (Z)M. (5)
к
Подставив сюда (3.1.18), найдем ^ = ? {йсо, I I2 - |/ 2 Re (Z) j =
=Yi {4-{pl+№lql) ~ У 1^j Н*+¦ (6)