Фотоны и нелинейная оптика - Клышко Д.Н.
Скачать (прямая ссылка):
В момент Z состояние системы согласно (4) будет
I ty = %S I Z0) = SI га, 0° <" I $ I гао>, | п, t >° ее cU0 |п>. (24)
п
Согласно этой формуле матричные элементы оператора рассеяния S (составляющие матрицу рассеяния) определяют, с каким весом в состоянии системы I ty представлены энергетические состояния I пу (в представлении взаимодействия, т. е. с учетом невозмущенной эволюции). Квадрат модуля элемента матрицы рассеяния Snna равен вероятности Pnno того, что невозмущенная энергия системы в момент Z равна $п, или, как говорят, вероятности перехода за время Z — Zj с уровня п0 на уровень п:
Pnna = I Sn«. I2 = I << I п, ty I ^ = I in I Z)0 I (25)
Согласно последнему равенству можно сказать, что вероятность перехода есть среднее значение оператора населенности (2.2.26). Подчеркнем, что речь идет об условной вероятности, так что в более подробных обозначениях PnnoE= P (п, t\n0,t0). § 2.3] ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ 63
В случае незамкнутой системы, когда W — энергия ее взаимодействия с заданной силой и средняя энергия <ЖУ не постоянна, говорят о вероятности вынужденного перехода. Заметим, что такой подход имеет смысл в случаях, когда по каким-либо соображениям можно пренебречь обратным влиянием исследуемой системы на источник силы.
Обычно при вычислении вероятности перехода приходится прибегать к теории возмущения:
Pn = S Pnk — (ojfn + Sfrn+ + Sfen+ + ¦ • •) (onfe + Snfe + Snfe +•¦•)•
m—u
(26)
В § 5.3 мы увидим, что возможна ситуация, когда высшие порядки теории возмущения компенсируют низшие:
PW + р<з> + р<4) = 0. (27)
Здесь Р(2~> может быть вероятностью однофотонного вынужденного перехода, Р(4) — двух фотонного, a P^ — интерференционный член, пропорциональный кубу вынуждающего поля.
При Z — Z0 = оо из (18) в случае замкнутой (Wm (Z) = const) системы следует
ос U
$$ = (Ш)~т J dtm... 5 dh 2 ^nnm_x• - ¦ Г„,„0 X
— OO —OO 71(..
. X ехр (Zo)nnnwZm + . . . ZconmoZ1) = — і2яб (Sn — Sn.) ?!, (28)
где
и мы использовали формулу
/
lim [dt'e^f = 2я6(го). (30)
-t
Согласно (28) матрица рассеяния диагональна по энергии, т. е. переходы возможны лишь между вырожденными состояниями с одинаковой энергией.
Скорость перехода. Определим также вероятность перехода в единицу времени, т. е. скорость перехода, которая при некоторых условиях не зависит от времени:
Wn, ^ ^ Pn,. (31)
Из (25) и (28) следует
Wnk = 2nn-4(an]t)\Tnli\\ . (32) 64 НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ КВАНТОВОЙ IUEXAHTTKH [ГЛ. 2
тде мы воспользовались следующим из (30) правилом:
[б (ю)]г = (« - у б (ю)/2я. (33)
Формула (32), содержащая б-функцию, имеет смысл лишь при ее последующем интегрировании по непрерывному множеству вырожденных конечных (и/или начальных) состояний | п). При этом б-функция переходит в число этих состояний, приходящихся на единичный интервал частоты dg/da (так называемая плотность состояний), и формулу (32) называют «золотым правилом Ферми».
§ 2.4. Флуктуационно-диссипативные теоремы (ФДТ)
До сих пор речь шла о замкнутых системах или о системах, на которые действует классическая детерминированная сила. Более реалистичными часто оказываются «открытые» модели, в которых выделяется подсистема с небольшим числом степеней свободы, взаимодействующая с термостатом, имеющим бесконечное число степеней свободы и непрерывный энергетический спектр. В простейшем случае предполагается, что система и термостат находятся в термодинамическом равновесии (нулевое приближение по детерминированной силе), и ставится задача о вычислении равновесных моментов параметров системы.
Линейная ФДТ является по существу обобщением теоремы Найквиста, произведенным в основном в работах Каллена, Вель-тона и Кубо. Она связывает флуктуации </2> внутренних параметров равновесной системы с ее линейной восприимчивостью %(1) по отношению к слабой силе (которая предполагается заданной и классической). ФДТ, таким образом, связывает статистические и кинетические характеристики системы и является одной из наиболее общих теорем неравновесной термодинамики. В литературе (см., например, [143, 144]) х) линейная ФДТ и смежные вопросы (симметрия и аналитические свойства %(1>, правила сумм и т. д.) освещены достаточно подробно, и мы здесь приведем лишь ее краткий вывод и попутно введем некоторые обозначения и названия, необходимые для дальнейшего.
Меньше исследованы связи между высшими моментами </3>, </4> и квадратичной и кубической восприимчивостями х(2\ %(3). Лишь сравнительно недавно Ефремов [148] и в более полной форме Стратонович [149], вывели «трехиндексную» или «квадратичную» ФДТ, которую мы приведем ниже. В [149] получен ряд связей между четырехиндексными величинами и показано, что </4> в общем случае не выражается через % (3>.
Ранее Файни Ящин [145] (см. также [146, 147]) при рассмотрении комбинационного рассеяния света получили связь между
1J См. также работы [183, 189], посвященные обобщению ФДТ на не-
равновесные системы. § 2.4] ФЛУКТУАЦИОННО-ДИССИПАТИВНЬІЕ ТЕОРЕМЫ 65
</2> и х(3) в неравновесной системе, возбуждаемой классической накачкой при условии, что ее частота W1H комбинационные частоты ft»L + (опт лежат в окнах прозрачности системы. Это и аналогичные соотношения, которые можно назвать «приближенными кубическими» ФДТ, также будут рассмотрены ниже.
