Фотоны и нелинейная оптика - Клышко Д.Н.
Скачать (прямая ссылка):
</> = J df I </ |я|,> I2 / = JJ \q) dq <g | / \q'} dq' (q | ?).
Можно сказать, что квантовая механика в общем случае предсказывает лишь плотность распределения P (/) результатов измерения:
<f} = IjfnP (L) или J dfP(f)f,
п
где согласно (25) P (/) равна квадрату модуля проекции вектора состояния системы I яр)> = I )> на «направление» ]/)>:
P (/) = < I / > </ і > = <?>/>, Pf =I /> </ I- (26)
Можно считать, что проекционный оператор | <J1 | соответствует наблюдаемой особого рода — ее среднее P (/х) есть населенность состояния I Д>, т. е. относительное число систем (в квантовом ансамбле тождественных измерений), дающих при измерении величины / частное значение Z1.
Итак, если известно, что вектор состояния системы равен | X то плотность распределения результатов измерения какой-либо величины / равна «среднему» от оператора проектирования
на направление | /). Если вектор | У параллелен одному из собственных векторов наблюдаемой /, например, | /х), то P (/) = = o(/- к)-
Пусть, например, вектор состояния | ) задан в координатном представлении: яр (q) = <q | яр>, тогда плотность распределения импульса можно найти по формуле
Р(р) = < IPXPI >= | JЙ?<Р|?><?| = dqe~ipg,n^{q)
(27)
где последнее равенство следует из (см. [3], с. 71) | q~) =¦ = ехр(— ipq/h)/y2nh. Из сравнения плотности распределения координаты P(q), равной в собственном представлении простор (д) |2, с P (р) по (27) следует принцип неопределенности Aq2Ap2 Й2/4 для дисперсий распределений координаты и импульса.
Время как параметр. Момент измерения t в нерелятивистской квантовой механике играет роль параметра распределения вероятностей, от которого в представлении Шредингера зависит вектор состояния I яр (t)y =| ty, а в представлении Гейзенберга —
х) Этот термин используют обычно в случае, когда наблюдаемая / является энергией. § 2.2]
ОБОЗНАЧЕНИЯ ДИРАКА 55
оператор наблюдаемой / (Z) и, следовательно, собственные векторы j / (Z)> и плотность распределения:
P (/, t) = I <t\ /ш (Ф I2 = I < to I / (t)\> I2. (28) В частности (ср. (2.1.15)),
</ (Ф = <t\ /ш (О I О = <Z0 I / (t) I *„>. (29)
Напомним, что при экспериментальном определении средних величин надо в общем случае каждое измерение производить над «новыми» системами, приготовленными в идентичных условиях. Если же мы производим два или большее число измерений над одной и той же системой, то мы должны учесть возможное возмущение системы детекторами. Для этого надо добавить в гамильтониан подходящие слагаемые. Согласно ортодоксальной теории измерений детектор, показавший, что величина / равна Д, превращает исходный вектор состояния I у в I Z1) (так называемая «редукция волнового пакета»). Такой детектор одновременно служит «источником», изготавливающим системы в чистом состоянии | J1). Иначе, обратное действие детектора на систему соответствует проекционному оператору I Z1) </х |.
С другой стороны, два измерения могут и не влиять друг на друга, например, если гамильтониан взаимодействия V системы с каким-либо детектором коммутирует с величиной /, то согласно уравнению Гейзенберга (2.1.13) этот детектор не влияет на / (Z) и, следовательно, на показания других детекторов, измеряющих / (так называемые невозмущающие измерения) [177].
Изменение волновой функции во времени (в соответствии с уравнением ПІредипгера (2.1.14)) можно представить как движение вектора I ty в гильбертовом пространстве, состоящее из непрерывной последовательности поворотов (длина вектора при этом не меняется: (t | Z) = 1). С другой стороны, поворот векторов в гильбертовом пространстве описывается «действием» операторов. Таким образом, мы подошли к понятию оператора эволюции
I ty = % (Z, Z0) I *о>. (30)
который согласно (2.1.14) должен удовлетворять операторному (ЖШ ф %Ж) уравнению
= %(z0, t0) = і, (Зі)
а также — для сохранения нормировки — условию унитарности.
Обратим внимание на то, что явная зависимость оператора энергии в представлении Шредингера от времени — результат действия переменной внешней (классической) силы. В случае изолированной системы Жш (Z) = Ж (Z) = const, и (31) имеет 56
НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ КВАНТОВОЙ IUEXAHTTKH [ГЛ. 2
формальное решение
% = ехр [- і Ж (z - г„)/й]. (32)
С другой, гейзенберговской, точки зрения, в процессе эволюции изменяются не векторы состояния, а операторы:
f(t) = 1l+(t, to) /пі {t)V{t\tо).
Пусть Ж = const И <on, (t0) =I ri} — собственные и векторы Ж, тогда
%пп' = firm® ехр [— іШп (t — tu)/h], (t) = I п> ехр [- Шп it - Z0)/U], так что согласно (19)
f(t) = S /mn'exp[iow(Z-Z0)],
пп'
/»»' = fnn'Onn', Onn- = (?„ - М/Й,
где мы ввели операторы а"™' = | га> <и' |, переводящие систему с уровня п' на уровень п и обладающие свойствами
a12 I 3> = I 1> <2|3> = I 1> fi23, o12aa4 = a14fi23. (36> Определим также фурье-образ f (ю ) гейзенберговского оператора: /(to) =^jjdfe**/(i), /(О = Jdco е-1®'/И, (37) тогда согласно (35)
/И= S/nn'6(o + ow). (38)
пп'
Квантовые функции корреляции. В квантовой статистической физике, кроме «одновременных» функций (29), рассматриваются также средние от произведения нескольких наблюдаемых, взятых в определенной последовательности и в разные моменты времени, например:
