Фотоны и нелинейная оптика - Клышко Д.Н.
Скачать (прямая ссылка):
<и|и') = б„„., 2|и><и| = J (17)
п
(в случае вырожденных собственных значений можно с помощью алгоритма Шмидта составить ортогональные суперпозиции векторов I я|0).
С помощью различных эрмитовых операторов мы можем определить множество равноправных базисов гильбертова пространства. Для экономии символов иногда удобно обозначить все три типа величин — оператор, его базис и спектр — одной, буквой, так что (16) принимает вид: /| /> = /| />. Заметим, что неэрмитовы операторы порождают неортогональные базисы, которые также можно использовать для представления векторов и операторов (см. Приложение и § 3.3).52
НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ КВАНТОВОЙ IUEXAHTTKH
[ГЛ. 2
Легко проверить, что матрица данного оператора в собственном представлении диагональна и ее элементы совпадают с собственными значениями, (14) принимает вид / =S/ I/></!• Отсюда следует, что f
f = Sf I /> </ I, F (/) = ^F (/) I /> </ |. (18)
Удобство обозначений Дирака наиболее ярко проявляется при разложении данного вектора (или тензора) по различным представлениям; для этого надо просто приписать слева (и в случае тензора справа) единицу в виде суммы проекционных диад (13):
f S Z1QV
/=2|/>/</| = 2|g><*|/U'><s'! = ...
/ gg'
Определим, как связаны проекции одного и того же вектора в двух различных базисах | п) н | ту, образованных некоммути-рующими операторами с ддекретными спектрами. Опять, используя разложение единицы (17), легко находим
<и|Ф> = 2<и|т><т|і|0- (20)
т
Набор чисел (п I т,у аналогичен направляющим косинусам для двух декартовых систем координат. Этот набор можно расположить в виде матрицы, которую мы обозначим буквой W. Обратному преобразованию соответствует матрица W+ с компонентами <т I пу. Из (17) следует
2 <т I И> <Я I т'У = б mm', S <и I т) <,т I П'У = бпп'.
n т
Таким образом, матрица преобразования базиса унитарна'. W+W = W+ = /.
Матрица W определяет также закон преобразования компонент операторов при смене представления:
<п,|/|и/> = S <n.|m><m|/|m'></n'|n'>. (21)
mm'
Скаляры не изменяются при замене базиса:
<<р|Ц)> = 21<<р|п><п|^> = 21<ф|п1></»|ф>. (22)
п т
Заметим, что матрица преобразования базиса определена с помощью индексов двух различных базисов, и поэтому она в общем случае (когда, например, один базис — дискретный, а другой — непрерывный) не представляет какого-либо оператора.
Унитарные преобразования. Рассмотрим случай, когда между индексами пят можно установить взаимно однозначное соот-§ 2.2]
ОБОЗНАЧЕНИЯ ДИРАКА
53
ветствие (этот случай наиболее близок к поворотам декартовых координат). При этом можно полагать, что поворачивается не система координат | т> | п> относительно неподвижных векторов I а, наоборот, векторы поворачиваются на какой-то угол относительно ортов: | і|з)> —>- | tJ/)>. Повороту векторов можно поставить в соответствие некоторый оператор:
1Ю = «МЧ>>. <1>'l =<!> 1?+- (23)
Чтобы скаляры при вращениях векторов оставались инвариантными, оператор % должен быть унитарным:
<ф' I ЧО = <Ф I W+W I Ч>> = <Ф IЧ>>, = I.
Пусть I ф> = / I потребовав, чтобы | ф'> = /' | мы получим закон изменения операторов при унитарном преобразовании:
/' = (24)
При этом если fg = h, то и f'g' = W.
Все введенные выше определения и соотношения имеют чисто математический характер, и отличаются от обычной линейной алгебры и теории матриц лишь обозначениями, использующими асимметричные угловые скобки. Заметим, что этот формализм, устанавливающий однозначное соответствие между функциями и операциями над ними, с одной стороны, и векторами и матрицами, с другой, без труда переносится на функции нескольких переменных. Например, если = я|) (х, у), то надо просто перенумеровать в любом порядке узлы координатной сетки на плоскости (ху) и принять за компоненты вектора | tJj> числа
У (X1Vi) = <! 11> (?У») = <2 1Ч>>, • • 1> (XnUN) = <N2 | я|)>
(размерность пространства при удвоении числа переменных возводится в квадрат).
Связь с физикой. Физическое содержание этого формализма устанавливается постулатами квантовой механики, ставящими в соответствие классическим параметрам объекта наблюдения q, р, f (q, р),. . . операторы q, р, f (q, р),. . . Основную роль играет «постулат измерения» (2.1.15), связывающий результаты многократных измерений величины fi в системах с идентичной историей с матричным элементом оператора /, вычисленным с помощью волновой функции я|) (qt); при этом в случае ^-представления оператор канонического импульса р принимается в виде (6), а действие оператора координаты q сводится к умножению на число q. В силу свойства инвариантности (21) средние величины можно рассчитывать в любом представлении, в том числе — в собственном:
</> = <ф|/|ф> = S/»Ml>>la = S <'ty\my<m\f\m'y<m'\Mp>,
п mm'54
НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ КВАНТОВОЙ IUEXAHTTKH
[ГЛ. 2
где /„ = <ra| / I п) — собственные значения /. При разложении по непрерывным базисам (т. е. по базисам, принадлежащим операторам с непрерывным спектром собственных значений) суммирование заменяется интегрированием; например,