Фотоны и нелинейная оптика - Клышко Д.Н.
Скачать (прямая ссылка):
§ 2.1. Переход от классического описания к квантовому
Квантование уравнений движения. Пусть нам известны классические уравнения движения рассматриваемой системы. Например, классическая динамика одномерного линейного осциллятора определяется вторым законом Ньютона:
Процедура перехода к квантовой динамике включает следующие четыре основных этапа.
1. Выбор наиболее удобной системы координат (і)}, определяющих вместе CO скоростями {(і (і} состояние системы (т. е. дающих полную информацию о системе).
2. Подбор функции Лагранжа ?(q, (, t), приводящей при использовании системы уравнений Лагранжа
mq = —kq + F (t).
(1)
dt Hqi Cigi
(2) 44 НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ КВАНТОВОЙ IUEXAHTTKH [ГЛ. 2
к исходным уравнениям движения. Так, легко проверить, что уравнению (1) соответствует лагранжиан
X = -l-mq2~^rkq2 + qF(t). (3)
3. Замена переменных — переход к обобщенным (каноническим) импульсам {pi (1)} (вместо скоростей) и нахождение функции Гамильтона по формулам
pi = щ- , ж (ptqj)-^yipiqi-x. (4)
І
В случае гармонического осциллятора из (3) находим
p = mq, M = ^-+*f-qF(t). (5)
В новых переменных уравнения (2) переходят в уравнения Гамильтона
дЖ . дЖ ....
Уравнения (6) позволяют составить уравнение движения любой динамической переменной (называемой в квантовой механике наблюдаемой величиной), т. е. произвольной функции обобщенных координат и импульсов / (q, р, t):
4г = -?+{/.*). (7)
где фигурные скобки (скобки Пуассона) обозначают следующую операцию:
{/'g} s E (ж ^k ~ ж іт) (8)
і
(здесь все переменные берутся в один и тот же момент времени). Например, скорость изменения гамильтониана (5) равна
Т = ^ = -^ (9)
4. Переход от обычной алгебры к алгебре некоммутирующих Величин, в которой
fg-gf = If, gl ^0. (10)
Разность (10), которая называется коммутатором или перестановочным соотношением наблюдаемых fug, определяется следующим правилом:
[/, gl = ih {/, g}. (И) § 2.1]
ПЕРЕХОД ОТ КЛАССИЧЕСКОГО ОПИСАНИЯ
45
Например,
[?і,р;] = іЯбі;і [f(qi),Pj\ = in^L . (12)
Согласно (7) и (11) квантовое уравнение движения произвольной наблюдаемой можно записать в следующем виде, называемом уравнением Гейзенберга:
4=4-+4-^-
При переходе к некоммутативной алгебре произведения наблюдаемых должны быть симметризованы: fg->- (fg + gf)/2. Найдем, например, коммутатор операторов q2 и р2. Из (11) и (8) следует Iq2, р2\ = 4 iUqp ->- 2 Ш (qp + pq)- Как легко проверить, такие же перестановочные соотношения имеют место для операторов умножения нади дифференцирования — ihd/dq по отношению к произвольной функции ij) (q).
Выбор представления. При решении динамических задач в квантовой механике можно использовать различные представления, которые носят имена Шредингера, Гейзенберга и Дирака. Переход от одного из этих представлений к другому аналогичен в некоторой степени переходу от неподвижной системы координат к вращающейся системе в классической механике. Представление Дирака, которое называется также представлением взаимодействия, будет рассмотрено позже, в § 2.3.
В более наглядном и близком к классике представлении Гейзенберга задача сводится к решению уравнений Гейзенберга с учетом некоммутативности некоторых переменных. В результате интересующие нас величины f(t), g (t),. . . в произвольный момент времени t выражаются через начальные условия, и остается лишь усреднить эти решения, полагая f(t0), g (Z0)1- ¦ • случайными величинами.
В представлении Шредингера динамика системы также определяется гамильтонианом, однако изменение состояния со временем описывается не с помощью набора функций / (Z), g (Z), . . ., а с помощью волновой функции ф (q, t), которая удовлетворяет уравнению Шредингера
ih -^f- = Жпґф, (14)
где Ж от теперь является линейным оператором, преобразующим волновую функцию по определенным правилам (которые можно вывести из коммутационных соотношений (12)). Оператор Гамильтона Жш и другие операторы в представлении Шредингера могут зависеть от времени лишь явно, т. е. при наличии заданных внешних сил F(t). Связь между Жш и Ж будет рассмотрена в § 2.2. 46
НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ КВАНТОВОЙ IUEXAHTTKH
[ГЛ. 2
Сравнение теории и эксперимента. Остается выяснить нетривиальный вопрос о взаимосвязи вычисляемых и измеряемых величин. В квантовой механике постулируется, что с экспериментальными числами надо сравнивать не сами переменные /, g, . . ., а лишь усредненные значения, которые мы будем обозначать с помощью угловых скобок </>, . . . Операция усреднения производится не с помощью вещественных функций распределения, как это делается в обычной теории вероятностей, а с помощью комплексных волновых функций по следующему правилу:
</ (*)> =J dqip* (qt0) f (t) ф (Qt0) = ^dq Ц* (qt) /щ (Z) ф (qt), (15)
где / (Z) считается линейным оператором, преобразующим расположенную справа функцию а|).
Начальная волновая функция в (15) считается известной — предполагается, что «источник» фотонов (или электронов, атомов, молекул,...) «изготавливает» их в заданном состоянии i|i (Z0), зависящем от свойств источника. Другая часть любой экспериментальной установки — «детектор» — определяет, какую именно динамическую переменную надо выбрать в качестве наблюдаемой величины /, а также момент времени Z. Эволюция системы от Z0 до t определяется уравнениями Шредингера или Гейзенберга, т. е. внешними силами F (t) и внутренними свойствами самой системы, задаваемыми ее гамильтонианом Ж (Z).
