Фотоны и нелинейная оптика - Клышко Д.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Jdgi|>*(g)<p(g) = 0|)|<p>. (16)
Будем называть длиной или нормой вектора | корень квадратный из суммы (интеграла):
<ч>1 ч>>=21 f« I2 или J dI 11(?) I'- (2)
п
Орты координатных осей в гильбертовом пространстве также являются векторами: | q. . ., | qN} или, короче, | 1),. . N}. Условие их ортогональности и нормированности имеет следующий § 2.2]
ОБОЗНАЧЕНИЯ ДИРАКА
49
вид:
<п\п'У = Ьпп. (За)
или, в случае непрерывной переменной,
<q I q'y = б (в - ff'). (36)
где б (X) — дельта-функция Дирака, отличная от нуля лишь при X = 0. Система ортов | п) составляет, как говорят, базис пространства. Компонента данного вектора 1вдоль какой-либо координатной оси равна скалярному произведению |t|)> на орт от этой оси, т. е.
Ч>» = <п I (4)
Итак, произвольным квадратично интегрируемым функциям мы поставили в соответствие векторы, которые можно представить в виде взвешенной суммы базисных векторов:
К>=2|л><и|1|>>- (5)
71
Преобразования функций и тензоры. Пусть функции г|) и <р связаны каким-либо линейным преобразованием, например, интегральным или дифференциальным:
$(q) = k(q), /=-ійА. (6)
В гильбертовом пространстве эту связь функций обозначим векторным равенством х)
14» = / I Ф>, , (7)
согласно которому операторам, совершающим линейные преобразования функций, в гильбертовом пространстве соответствуют тензоры, изменяющие длины и направления векторов. Определим обратный к / тензор /_1 равенством
I Ф> = Г1 1
из которого следует ff'1 = где I обозначает тождественное преобразование. Определим также эрмитово-сопряженный к / оператор /+ равенством
<Ч> I = {/ I Ф>}* = <Ф If+
(в последнем выражении оператор или тензор действует «налево»). Умножим вектор (7)-на какой-либо другой вектор:
<х11»=<х ! • {/ 1ф)} = <Х І/ ІФ>, (8)
В настоящем параграфе операторы будут выделяться полужирным шрифтом. 50 НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ КВАНТОВОЙ IUEXAHTTKH [ГЛ. 2
это число называется матричным элементом оператора /. Согласно (1) и (8)
<ЗС I / I Ф>* = {/ I Ф>}*- I х> н= <Ф I f+ I х>. (8а)
Компоненты преобразованного вектора г|)„ равны <гг | = = I / I ф)> или, с учетом представления (5),
<п|^> = а<п|/|п')<п'|ф>- (9)
п'
Таким образом, чтобы по числам фп, задающим функцию ф (q), найти числа г|)п, т. е. преобразованную функцию г|) (q), надо знать N2 чисел Kn \ f \ п'У == /пи<, образующих матрицу. Эта матрица представляет оператор / в данном базисе | п). Обратно, любые N2 чисел определяют некоторый оператор; например, из компонент двух векторов можно образовать оператор (называемый диадой) по правилу
<л|/ |n'> = <n |ф><г|) \п'у (10)
где /„„- = фпф„'. Оператор-диаду с матрицей (10) удобно обозначить так:
/ = I <р> <Ч> (11)
Частным случаем диадного оператора является оператор IP4 = = I фХф I) который, действуя на любой вектор, выделяет его компоненту вдоль «направления» | ф)>:
-Рф |ф> = |ф><ф и>>, (12)
и поэтому называется проекционным (при условии <ф | ф> = 1).
Разложение единицы. Векторная сумма всех компонент вектора составляет снова тот же вектор, т. е.
|Ч>> = S I Л> <И I = {2) I «> <л |} IЧ>>-
п п
Это свойство базисных векторов можно записать так:
I = S I *><« I или Jd?|?><?|, (13)
где I — единичный оператор с матричными элементами Snn- или б (q — q'). Равенство (13) называется разложением единицы, и оно означает, что система базисных векторов (ортов) | пУ является полной, т. е. достаточной для представления любого вектора или тензора.
Заметим, что разложение (5) мы можем теперь легко получить, подействовав на | единичным оператором с учетом (13). Далее, умножим произвольный оператор слева и справа на I, тогда согласно (13)
/=S |иХп|/|га'Хл'| = 3/пп'|я><«'|- (14)
пп' § 2.2]
ОБОЗНАЧЕНИЯ ДИРАКА
51
Это равенство является разложением оператора по диадам, составленным из ортов данного базиса. Двум последовательным операциям / яд соответствует третий оператор, являющийся «произведением» операторов: fg = h-, его матричные элементы определяются по обычному правилу умножения квадратных матриц
Kn- = <« I fg I л'> = S <л I /1 «"> <п" I д I п'у (15)
п"
или согласно (13) h — /1 д = 2/1 пУ 9- Некоммутирующим операциям (например, умножение г|з (q) на q и дифференцирование dty/dq «не равно» дифференцированию и умножению) соответствуют некоммутирующие' матрицы.
Различные представления. В обычном пространстве при повороте системы декартовых координат на какой-то угол компоненты векторов и тензоров изменяются. В гильбертовом пространстве аналогичная процедура называется изменением представления или базиса.
Всевозможные базисы (системы координат) можно классифицировать с помощью операторов, не изменяющих направления ортов. Определим собственные векторы и собственные значения оператора равенством
/ 11|>„> = fn I г|)я>, (16>
где индекс п = 1,. . ., N нумерует различные собственные функ-ции-векторы. Набор чисел /„ (среди которых могут быть одинаковые) составляет спектр данного оператора. Условие (16) определяет лишь «направление» собственных векторов, и мы можем дополнительно потребовать, чтобы <і|зп I ~ 1- Легко показать, что если / — эрмитов (самосопряженный) оператор (т. е. /'— /'+), то набор его собственных функций | tJ)„> st; | п) составляет полную ортогональную систему:
