Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Клышко Д.Н. -> "Фотоны и нелинейная оптика" -> 26

Фотоны и нелинейная оптика - Клышко Д.Н.

Клышко Д.Н. Фотоны и нелинейная оптика — Москва, 1980. — 259 c.
Скачать (прямая ссылка): fontaniinelineynayaoptika1980.djvu
Предыдущая << 1 .. 20 21 22 23 24 25 < 26 > 27 28 29 30 31 32 .. 100 >> Следующая


Следует отметить, что использование ФДТ (как линейной, так и нелинейной) для определения спектра теплового излучения при учете оптического ангармонизма вещества требует некоторой осторожности (гл. 5).

Линейная ФДТ. Пусть энергию возмущения можно представить в билинейном виде:

= (1)

і

где fj — операторы системы (например, дипольный момент /-й молекулы образца) и Fj — обобщенные силы (электрическое поле в центре /-й молекулы).

Согласно (2.3.22) произвольный одновременный гейзенберговский оператор в линейном приближении по F выражается через невозмущенные операторы системы следующим образом:

t

= fi(t')]F}(t'). (2)

и

Пусть наблюдаемой величиной является среднее значение (см. (2.2.44)) </Р (Z)) = Sp {/jX) (Z) р (Z0)}, определяемое через начальную (до включения силы) матрицу плотности, которая в представлении Гейзенберга не зависит от Z. Если начальное состояние системы было равновесным, то р (Z0) определяется формулой (2.2.43) с единственным параметром'—температурой. Соотношение (2) после усреднения определяет матрицу линейной восприимчивости системы:

</(i) m=\dt't(t, t').F(f), (3)

Xa (h, h) = 4-10 (h - h) <[/, (Z1), f5 (z2)]>, (4)

0 (х > 0) = lim Є(я<0) = 0.

Е->+0

Мы здесь дополнительно постулируем бесконечно малое затухание (є = +0) коммутатора гейзенберговских операторов для достаточно удаленных моментов времени. Это предположение, по-видимому, эквивалентно гипотезе о затухании корреляций или условию адиабатичности включения взаимодействия (2.3.23), и оно представляется естественным следствием релаксации, т. е. неучитываемого явно взаимодействия с термостатом. Ступенчатая функ- 66 НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ КВАНТОВОЙ IUEXAHTTKH [ГЛ. 2

ция 0 (Z2 — Z1) обеспечивает причинность — будущие значения силы (при Z2 Z1) не влияют на наблюдаемую величину. Заметим, что в (4) опущены индексы представления взаимодействия, так как шпур инвариантен по отношению к унитарным преобразованиям.

Как будет показано ниже, средние по равновесному состоянию зависят лишь от разностей временных аргументов, поэтому 1 (tu Z2) = X (Z1 — Z2, 0) E= x (Zi — Z2). Введем функцию взаимной корреляции параметров /г и Jj невозмущенной системы

Фи (Z) = <ЇІ (Zi) fj (Z1 - Z)> = </; (0) fj (-Z)> = (Ji (Z) fj (0)>. (5)

Фурье-образ этой функции определяет спектр взаимных флук-туаций fi и fj. Набор всех функций ф^- (Z) образует матрицу вторых моментов системы: ф (Z) = </ (Z) / (0)>. Если ft (Z) и Jj (0) не коммутируют для каких-то Z, / и t, то матрица моментов несимметрична:

<[fi(t), h (0)]> = ф„ (О ф о,

или Ф (Z) = ф (Z) — ф (—Z) ф 0, где фа = ф7-г. Образуем из функции ср (t) две «усеченные» функции, отличные от нуля лишь при положительных аргументах:

«р<±> (Z) = 0 (0 ф (± Z). (6)

В этих обозначениях (4) принимает вид

— ій% = ф<+> — <р(-) =ЄФ. (7)

Восприимчивость X называют также запаздывающей функцией Грина, а функцию х (— 0 — опережающей функцией Грина. Иногда используют еще причинную функцию Грина, равную

{Ф« (t) + ф(-> (—t))/ih.

Формула (7) выражает х через усеченные функции корреляции, а мы хотим выразить полную функцию корреляции через у,. Прежде всего, избавимся от O-функции. Для этого вычтем из матричного равенства (7) транспонированное равенство при обратном знаке времени:

- іЛ ІХ (О - X (-1)} = Ф (О- (8)

Далее, в равновесной системе существует однозначная связь между фифи, следовательно, между ф и Ф. Чтобы ее найти, распишем с помощью (2.2.35) функцию корреляции в энергетическом представлении:

</i (Zi) Z2(Z2)) =

= Z-1 S f Inmhmn ехр {iSn (Z1 -Z2 + i?) + Zgm(Z2-Z1)J, (9) § 2.4] ФЛУКТУАЦИОННО-ДИССИПАТИВНЬІЕ ТЕОРЕМЫ 67

где ? = 1/иГ и H = 1. Отсюда следует, что все равновесные моменты стационарны (т. е. зависят лишь от разностей временных аргументов). Положив в (9) Z1 = Z, Z2 = 0, найдем

ф ^(Z) = Z"1 3/1шп/2тпехр {i$n(t + i$)-i&mt}. (10)

пт

Отсюда при переставленных индексах п, т следует

ф21 (Z) = Z-1 S /W2mn ехр {i$m(Z + i?) - itgj}. (И)

пт

Сравнивая (10) и (И), видим, что если расширить область определения функции ф (Z) на комплексную плоскость, то

Ф (-*) = <?(*- i?). (12)

Введем оператор сдвига во времени

R (x) еш = eim<'+t> , R (X) / (Z) = / (f + г); тогда (12) примет форму

ф (—t)=Mi(t), <M = R(— i?) = е-грэ/а?.

Таким образом, оператор JRn = ехр (—i?<9/<9Zn) переставляет гей-зенберговы операторы под знаком среднего в равновесной системе!

A<f(h)g(h)> = <g(h)1(t а)>, (15)

<[/ (Zi), g (*2)1> = (1 - ^i) </ C1) g («,)>• (16)

Вводя обратный оператор, можно выразить функцию корреляции двух величин через среднее от их коммутатора:

</ (h) g (h)> = (1 - Ar1 <[/ (h), g (Z2)]), (17)

ф (Z) =5= (1 - М)~гФ (Z). (18)

Подставляя сюда (8), находим ФДТ во временной форме:

ф it) = і%(я- і)-1 {г (О - X (-0}- (19)

Заметим, что согласно определению (13)

(Я — 1 Г1 еш = JT (со) ei(af, (20)

Ж (со) == (е*>> — l)-i= (-ы) + 1] =^- cth-^-—l]. (21)

Функция JV (и) называется функцией Планка или фактором вырождения фотонов с энергией Йы. Обычно ФДТ формулируют для симметризованной функции корреляции (ф + ф)/2, однако в оп- 68
Предыдущая << 1 .. 20 21 22 23 24 25 < 26 > 27 28 29 30 31 32 .. 100 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed