Фотоны и нелинейная оптика - Клышко Д.Н.
Скачать (прямая ссылка):
При изучении рассеяния света веществом электромагнитное поле, вообще говоря, надо квантовать и считать частью «системы». При этом я|) (Z0) задает начальные свойства образца и падающего на образец излучения. Однако часто без большой погрешности можно полагать падающее поле (или часть этого поля — накачку) классическим полем (детерминированным или случайным с заданной классической статистикой на входе). В этом приближении влияние накачки учитывается добавлением переменного возмущения в гамильтониан, который при этом становится зависящим явно от времени.
Строго говоря, «детектор» всегда оказывает обратное влияние на «систему», а «система» -— на «источник». Поэтому под «системой» следовало бы понимать всю экспериментальную установку, включая «наблюдателя»! Эта древняя философская проблема разделения объекта и субъекта приобрела особую остроту в квантовой механике. Однако поразительные успехи квантовых расчетов показывают, что до сих пор всегда удавалось провести границы между источником, системой и детектором и выбрать l[i (Z0), Ж (t) и / (Z) так, что теоретические предсказания по формуле (15) согласуются с наблюдениями.
Экспериментальная процедура. Экспериментальное значение </ (Z)>3Kcn определяется арифметическим усреднением по некото- § 2.1]
ПЕРЕХОД OT КЛАССИЧЕСКОГО ОПИСАНИЯ
47
рому числу N отдельных наблюдений /г, производимых в идентичных условиях и при одинаковых Z — Z0:
JV
</(Фэксп = 4" Xj(16) І—1
и адекватная эксперименту теория должна давать </)Эксп -*¦ (J) при N оо.
Квантовая теория (как и теория вероятностей или статистическая физика) не претендует в общем случае на предсказание результата отдельного измерения, она лишь позволяет рассчитывать средние по ансамблю величины вида </>, </">, (jngm)>. . Набор моментов </" (t)y случайной функции / (t) известным образом определяет плотность распределения P (/, Z) (или ее фурье-образ % (fx, Z), называемый характеристической функцией), т. е. определяет полную статистическую информацию о величине / в момент времени Z.
Если волновая функция системы tJj (Z0) — собственная функция (§ 2.2) оператора /(Z), т. е. /(Z) ?(?) = /с (*Ж«о), где /с (0 -обычная или, как говорят, «с-числовая» функция, то согласно (15)
<Г (O) = /с (0. ^ (/, О = б [/ - /с (01, (17)
и поэтому результаты отдельных наблюдений должны совпадать: /г = /с. В противном случае числа /; будут флуктуировать со статистикой, стремящейся при больших N к теоретической. Таким образом, результат одного отдельного измерения Z1 можно предсказать, лишь если нам удалось «приготовить» систему в собственном состоянии оператора /.
Итак, чтобы перейти от классической теории к квантовой, в представлении Гейзенберга надо просто рассматривать динамические переменные системы q, р, /,. . . в классических уравнениях движения случайными и некоммутирующими величинами, а сами уравнения — стохастическими. Решение этих уравнений определяет некоторое преобразование случайной переменной / (Z0) -V / (Z), в котором время играет роль параметра преобразования. Отличие от классической теории случайных процессов проявляется «лишь» в использовании некоммутативной алгебры и в процедуре усреднения (15), которая производится с помощью комплексной функции lj) (Z0).
С другой точки зрения, можно считать, что реальный «источник» квантовых объектов задает не начальную •ф-функцию, а начальные моменты </n (Z0) gm (Z0) . . . > = cnm... (которые в случае рассеяния света можно измерить тем же «детектором», убрав «образец» и возмущающие поля). При этом волновая функция її процедура усреднения выпадают из описания, и надо лишь выразить с помощью уравнения Гейзенберга наблюдаемые 48
НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ КВАНТОВОЙ IUEXAHTTKH
[ГЛ. 2
переменные через начальные значения:
/ (t) = ф {f (Z0), g (Z0),...} = ^unm... (*,;*„) Г (f0) (t0)(18)
так что в случае адекватной теории результаты измерений удовлетворяют связи
</ (Z)/эксп = Uпт... (Z, Z0) cnm. . (19)
Набор коэффициентов Unm... можно назвать матрицей рассеяния.
§ 2.2. Обозначения Дирака и геометрическая интерпретация квантовой механики
Функции как векторы. Рассмотрим непрерывную функцию ij) (q), аргумент которой изменяется в ограниченном интервале значений. Мы можем сколь угодно точно задать эту функцию с помощью пронумерованного набора из N чисел: i|)n = ij) (qn) (п = 1, 2,. . ., N), разбив интервал изменения q на достаточно большое число отрезков. Будем считать, что эти числа являются декартовыми компонентами некоторого радиуса-вектора в iV-мер-ном пространстве. Обозначим этот вектор символом | г|)> = = {^1,- • 'фл}- Если aj) (q)— комплексная функция, нам понадобится 2Л чисел и измерений. Функции tJj* (q) будет соответствовать комплексно-сопряженный вектор, который мы обозначим через <а|) [ == I^)*. Различным функциям (д), cp (?),. . . будут соответствовать различные наборы чисел, т. е. различные векторы в этом пространстве, называемом гильбертовым. Число
N
S Ч*Фп-<Ч>|<Р> = <<РІЧ0* (la)
)j=i
назовем скалярным произведением векторов | и <ф |. Если отказаться от дискретности переменной q, то надо считать наше воображаемое пространство бесконечномерным (Аг—>-оо), и (Ia) переходит в
