Фотоны и нелинейная оптика - Клышко Д.Н.
Скачать (прямая ссылка):
div E = 4яр, div H = 0 (2)
представляет собой связи, ограничивающие число переменных (напомним, что в нерелятивистской квантовой механике временные и пространственные координаты играют существенно различную роль).
Произвольное векторное поле можно однозначно разделить на два аддитивных слагаемых — на продольную и поперечную части поля:
E = E и + Е±. (3)
Это разбиение легко осуществляется с помощью пространственного преобразования Фурье, как это будет показано ниже. По-80
ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ оптики
[ГЛ. 3
определению
rot EI1 = 0, div Ex = О
(4)
и аналогично для Hnj. Из (2) следует
div E ,і = 4яр, II j = 0.
(5)
Согласно (5) продольная часть поля определяется положением зарядов в тот же момент времени, и поэтому она не является динамической переменной.
Итак, динамические уравнения для поля имеют вид
в дальнейшем мы опустим индекс Уравнения (6) напоминают связь канонических переменных — импульса и координаты — в гамильтоновой форме механики. Однако аргумент г шести скалярных функций Ea, Ha (a = x, у, z) изменяется непрерывно, и поэтому динамические уравнения (6) содержат бессчетное множество переменных. Чтобы сделать это множество счетным и избавиться от операторов пространственного дифференцирования, выполним трехмерное фурье-преобразование над функциями
Пространственное фурье-преобразование полей. Переход (1.1.14) от непрерывного аргумента г к дискретному U делает счетным множество переменных, определяющих состояние рассматриваемой системы — электромагнитного поля внутри L3, — и тем самым позволяет использовать рецепт квантования уравнений движения, описанный в § 2.1.
Подчеркнем, что размеры и положение в пространстве «нормировочного» параллелепипеда L3 могут быть любыми, например, L3= 1 см3 или 1 км3. При этом для данного реального поля E (г) в зависимости от объема L3 и его расположения будет изменяться гармонический состав Eu- Совокупность комплексных гармоник Ek (t) точно определяет поле внутри выбранного «ящика» периодичности (и не имеет отношения в общем случае к полю вне L3) или, как говорят, образует ifcZ-представление электрического поля. Аналогично функция E (г, t) образует гі-представление.
Легко убедиться, что пары функций ехр (ik- г) и ехр (—ik'-r) при неодинаковых к и к' ортогональны друг другу в L3, т. е. что выполняется равенство
E± = cvotH — 4ni/J_, H= — crotE±;
(6;
Ea (г), Ha (г), U (г).
4т \ (Irei (к-кГ).г _ § ,§ ,6 ,
(7)
rnMm* тутУ mIm*§ 3.1] КАНОНИЧЕСКИЕ ПЕРЕМЕННЫЕ 81
Умножив (1.1.14) на ехр (—ik'-r) и проинтегрировав по г, найдем обратное преобразование:
Eh=-L^ dre~~ik'vE {г) (8)
La
(несущественный пока аргумент t мы опускаем).
Заметим, что из действительности функций E (г) и из (8) следует связь
Et = El (fc = — к); (9)
таким образом, мы ввели избыточное число переменных. Аналогичные (9) связи имеют место и для фурье-компонент других полей.
Подействовав оператором\dr ехр (—ik-r)'^на (6), получим урав» нения движения в ftZ-представлении:
Ek = іщк X Hk — 4я jk, Mk-- — іщк X Ek (10)
(ojfcE= ск, к = к/к). Поскольку вектор Ek лежит в плоскости, перпендикулярной направлению к, то он определяется двумя, а не тремя независимыми компонентами. Пусть единичные векторы ек1, ек2 перпендикулярны к, тогда
2
Ek = S ekvEkv. (11)
V=I
Заметим, что при непрерывном повороте тройки єк\ на 180° вок~ руг, например, еда новое направление ек2 обратно старому. Мы, однако, условимся, что волновым векторам к и —к соответствуют одни и те же орты поляризации: ekv = еку.
G учетом (11) прямое и обратное преобразования принимают вид:
E (г) = S ek,Ekveik-r = ^1ekEkeik"-,
н (12).
Ekv EEH Ek = ZT3 J drekx ¦ E (г) e~ik'r,
где мы объединили индексы к и v:
к = (fe, v} = {тх, ту, mz, v}. (13)
Аналогично можно выразить магнитное поле через фурье-ком-поненты:
Н(г)=%икНие^-г, (14).
к
Hk = hiev • Hkl IikV = к X ekv.-82
ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ оптики
[ГЛ. 3
Условия действительности (9) дают
Ei = Ek, H^ = -Hk, ^k=U, (15)
где к E= {— к, v} И h == env-jh.
Канонические переменные поля. Индекс к нумерует независимые в общем случае степени свободы или «моды» поля в объеме нормировки L3. Понятие моды здесь аналогично понятию типа колебания в случае объемного резонатора, когда поле представляется суммой стоячих волн. Состояние данной моды в момент Z задается двумя комплексными (т. е. четырьмя действительными) функциями Eh- (Z) и Hk (Z), причем эти же две комплексные функции согласно (15) определяют состояние моды с обратным направлением волнового вектора.
Чтобы выделить независимые динамические переменные, относящиеся только к одной моде, образуем линейную комбинацию
а* = - (Ek + Hk), 4 (E1 - Щ), (16)
ск = ]/~2nH'jjk/L3 = IzrHakV^n,
где коэффициенты выбраны так, чтобы новые переменные были безразмерными и их коммутатор равнялся 1. Величина a^ независима от ак, так что состояние каждой моды задается своей комплексной амплитудой ак (Z).
Определим также две действительные амплитуды моды, пропорциональные, действительной и мнимой частям ак: