Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Клышко Д.Н. -> "Фотоны и нелинейная оптика" -> 31

Фотоны и нелинейная оптика - Клышко Д.Н.

Клышко Д.Н. Фотоны и нелинейная оптика — Москва, 1980. — 259 c.
Скачать (прямая ссылка): fontaniinelineynayaoptika1980.djvu
Предыдущая << 1 .. 25 26 27 28 29 30 < 31 > 32 33 34 35 36 37 .. 100 >> Следующая


div E = 4яр, div H = 0 (2)

представляет собой связи, ограничивающие число переменных (напомним, что в нерелятивистской квантовой механике временные и пространственные координаты играют существенно различную роль).

Произвольное векторное поле можно однозначно разделить на два аддитивных слагаемых — на продольную и поперечную части поля:

E = E и + Е±. (3)

Это разбиение легко осуществляется с помощью пространственного преобразования Фурье, как это будет показано ниже. По -80

ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ оптики

[ГЛ. 3

определению

rot EI1 = 0, div Ex = О

(4)

и аналогично для Hnj. Из (2) следует

div E ,і = 4яр, II j = 0.

(5)

Согласно (5) продольная часть поля определяется положением зарядов в тот же момент времени, и поэтому она не является динамической переменной.

Итак, динамические уравнения для поля имеют вид

в дальнейшем мы опустим индекс Уравнения (6) напоминают связь канонических переменных — импульса и координаты — в гамильтоновой форме механики. Однако аргумент г шести скалярных функций Ea, Ha (a = x, у, z) изменяется непрерывно, и поэтому динамические уравнения (6) содержат бессчетное множество переменных. Чтобы сделать это множество счетным и избавиться от операторов пространственного дифференцирования, выполним трехмерное фурье-преобразование над функциями

Пространственное фурье-преобразование полей. Переход (1.1.14) от непрерывного аргумента г к дискретному U делает счетным множество переменных, определяющих состояние рассматриваемой системы — электромагнитного поля внутри L3, — и тем самым позволяет использовать рецепт квантования уравнений движения, описанный в § 2.1.

Подчеркнем, что размеры и положение в пространстве «нормировочного» параллелепипеда L3 могут быть любыми, например, L3= 1 см3 или 1 км3. При этом для данного реального поля E (г) в зависимости от объема L3 и его расположения будет изменяться гармонический состав Eu- Совокупность комплексных гармоник Ek (t) точно определяет поле внутри выбранного «ящика» периодичности (и не имеет отношения в общем случае к полю вне L3) или, как говорят, образует ifcZ-представление электрического поля. Аналогично функция E (г, t) образует гі-представление.

Легко убедиться, что пары функций ехр (ik- г) и ехр (—ik'-r) при неодинаковых к и к' ортогональны друг другу в L3, т. е. что выполняется равенство

E± = cvotH — 4ni/J_, H= — crotE±;

(6;

Ea (г), Ha (г), U (г).

4т \ (Irei (к-кГ).г _ § ,§ ,6 ,

(7)

rnMm* тутУ mIm* § 3.1] КАНОНИЧЕСКИЕ ПЕРЕМЕННЫЕ 81

Умножив (1.1.14) на ехр (—ik'-r) и проинтегрировав по г, найдем обратное преобразование:

Eh=-L^ dre~~ik'vE {г) (8)

La

(несущественный пока аргумент t мы опускаем).

Заметим, что из действительности функций E (г) и из (8) следует связь

Et = El (fc = — к); (9)

таким образом, мы ввели избыточное число переменных. Аналогичные (9) связи имеют место и для фурье-компонент других полей.

Подействовав оператором\dr ехр (—ik-r)'^на (6), получим урав» нения движения в ftZ-представлении:

Ek = іщк X Hk — 4я jk, Mk-- — іщк X Ek (10)

(ojfcE= ск, к = к/к). Поскольку вектор Ek лежит в плоскости, перпендикулярной направлению к, то он определяется двумя, а не тремя независимыми компонентами. Пусть единичные векторы ек1, ек2 перпендикулярны к, тогда

2

Ek = S ekvEkv. (11)

V=I

Заметим, что при непрерывном повороте тройки єк\ на 180° вок~ руг, например, еда новое направление ек2 обратно старому. Мы, однако, условимся, что волновым векторам к и —к соответствуют одни и те же орты поляризации: ekv = еку.

G учетом (11) прямое и обратное преобразования принимают вид:

E (г) = S ek,Ekveik-r = ^1ekEkeik"-,

н (12).

Ekv EEH Ek = ZT3 J drekx ¦ E (г) e~ik'r,

где мы объединили индексы к и v:

к = (fe, v} = {тх, ту, mz, v}. (13)

Аналогично можно выразить магнитное поле через фурье-ком-поненты:

Н(г)=%икНие^-г, (14).

к

Hk = hiev • Hkl IikV = к X ekv. -82

ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ оптики

[ГЛ. 3

Условия действительности (9) дают

Ei = Ek, H^ = -Hk, ^k=U, (15)

где к E= {— к, v} И h == env-jh.

Канонические переменные поля. Индекс к нумерует независимые в общем случае степени свободы или «моды» поля в объеме нормировки L3. Понятие моды здесь аналогично понятию типа колебания в случае объемного резонатора, когда поле представляется суммой стоячих волн. Состояние данной моды в момент Z задается двумя комплексными (т. е. четырьмя действительными) функциями Eh- (Z) и Hk (Z), причем эти же две комплексные функции согласно (15) определяют состояние моды с обратным направлением волнового вектора.

Чтобы выделить независимые динамические переменные, относящиеся только к одной моде, образуем линейную комбинацию

а* = - (Ek + Hk), 4 (E1 - Щ), (16)

ск = ]/~2nH'jjk/L3 = IzrHakV^n,

где коэффициенты выбраны так, чтобы новые переменные были безразмерными и их коммутатор равнялся 1. Величина a^ независима от ак, так что состояние каждой моды задается своей комплексной амплитудой ак (Z).

Определим также две действительные амплитуды моды, пропорциональные, действительной и мнимой частям ак:
Предыдущая << 1 .. 25 26 27 28 29 30 < 31 > 32 33 34 35 36 37 .. 100 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed