Фотоны и нелинейная оптика - Клышко Д.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Положим g (Z) = Z1 (Z) /2 (t) ... fk (Z), тогда (12) определяет скорость изменения одновременного А-го момента системы через разновременные моменты порядка к 2. Эти моменты определяются в представлении взаимодействия, так что согласно (2.2.35) их можно выразить через одновременные моменты и неоператорные функции времени. Если собственные частоты Wnn- невозмущенной термостатом системы известны, то интегрирование в (12) можно провести явно. Таким образом, уравнение (12) является дифференциальным, а не интегро-дифференциальным (как это и должно быть для марковского процесса).
Если, далее, система А линейна (например, если система А — это электромагнитное поле — см. гл. 3), то коммутаторы [/, /'] суть с-числа, а средние от [g, /] являются моментами порядка к — 1, ив результате в левой и правой частях (12) фигурируют моменты одного порядка к, т. е. (12) в этом случае представляет замкнутую систему кинетических уравнений для момента порядка к (иногда удобнее в качестве наблюдаемой выбрать характеристическую функцию — см. § 4.4).
Итак, кинетическое уравнение в принципе описывает изменение всех статистических свойств системы под действием термостата и внешних сил. Подчеркнем, что в отличие от ФДТ решение кинетического уравнения определяет все моменты в неравновесной системе, включая и восприимчивость — отношение первого момента к силе. ФДТ же лишь утверждает, что отношение второго момента равновесной системы к восприимчивости в спектральном представлении есть универсальная функция температуры Ж. Это утверждение зато в отличие от выводов из кинетического уравнения не ограничено никакими приближениями, кроме условия равновесности.
Кинетические уравнения для населенностей. G помощью (12) можно определить динамику средних населенностей системы. Для этого полагаем
g = a21 ^ І щ> I, (13)
ҐДЄ I пку — собственные векторы Ж А- Как легко убедиться, имеют место следующие соотношения (индекс А опускаем):
(O21) = Pi2= (^1Ip0IK2), (/V1/)= SAVifP34=(ZPf)M.
3, 4§ 2.5]
РЕЛАКСАЦИЯ И КИНЕТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
77
В результате из (12) следует
(15)
dt
34
(
W1231 = -L Y1 J dt' {{F'Fy [f'i2f13 - (/'/МЫ +
jy —<*=
+ <^')г [/42.4-(/ПА]},
/21 = <"2 I /° (О I Лі>, /21 Es <«2 I f°y (t') I B1)
(этот же результат можно получить сразу из (5), взяв матричный элемент между состояниями <ге2 1 и | щУ).
Если пренебречь недиагональными элементами матрицы плотности (так называемое приближение хаотических фаз), то (15) принимает вид:
dp \
-jf = } WnmQrn, (16)
коэффициенты wnm называются скоростями релаксации или вероятностями переходов между уровнями под дехіствием термостата. Кинетические уравнения для населенностей (16) при учете внешних сил широко используются в квантовой электронике для описания эффекта насыщения.
Спонтанные и вынужденные переходы. Представим в (12) моменты термостата в спектральной форме согласно (2.4.9):
ТГ = <1>° + -^ZZ F>»Pi»{ра I*' Al > - Pb <1*. /її ft»-
ij ab
(17)
t
ff = J dt'fj (f') ехр [гсоаЬ (?' — f) + ef'], (18)
где мы добавили множитель сходимости eEt, опустили аргументы t операторов ft (они теперь все одинаковые) и обозначили через р0 = рваа относительные населенности уровней термостата. Введем разности населенностей термостата Араь = ра — р&:
Pa= Apab (-y^ba + 1), р„ = Ар,1ЬЖЬо, (19)
I ШЬа Л-1
жьа = [ехр-JJ^-- Ij ,78 НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ КВАНТОВОЙ IUEXAHTTKH [ГЛ. 2
и будем считать диагональные матричные элементы Fjaa равными нулю, тогда (17) принимает вид
= ФУ+ П'2 X, Yi ^iba UV<[/f, [g, /і]] +
і і b>a
+ [/іа, [g, /j]]> + </f [g, /il + If1, g]/T}}. (20)
Здесь первое слагаемое в фигурных скобках пропорционально населенностям верхних уровней термостата для данной пары (а, Ъ), а второе слагаемое пропорционально разностям населен-ностей. Если системой А является электромагнитное поле, а термостатом — заряженные частицы, то эти слагаемые описывают спонтанные и вынужденные эффекты соответственно.Г Л А В А 3
ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ оптики
В настоящей главе сформулированные выше правила перехода от классического описания явлений к квантовому применяются к электромагнитному нолю. В § 3.1 микроскопические уравнения Максвелла приводятся к каноническому виду. Сама процедура квантования описана в § 3.2. В §3.3 рассматриваются возможные квантовые состояния поля и их изменение во времени при наличии заданных (классических) источников поля. Наконец, в § 3.4 выводятся правила квантования макроскопических уравнений Максвелла для поля в безграничной среде при пренебрежении оптической нелинейностью вещества (см. также [88, 158]).
§ 3.1. Канонические переменные электромагнитного поля
Динамические уравнения для поля. Будем исходить из уравнений Максвелла—Лоренца для пустого пространства при наличии заданных источников с плотностью тока j:
E=CrotH-inj, H=-CrotE. (1)
Здесь все три поля Е, H и j являются функциями четырех переменных г, t. Мы специально перенесли временные производные в левые части равенств, чтобы подчеркнуть, что эта пара уравнений играет роль динамических уравнений движения 12]. Вторая же пара уравнений Максвелла