Волны - Крауфорд Ф.
Скачать (прямая ссылка):
где
со 2 = gll. (8)
Общее решение уравнения (7) представляет собой гармоническое колебание
ф(0 = A cos(co* + cp).
Заметим, что угловая частота колебаний (8) может быть записана так:
со2=возвращающая сила на единицу смещения и на единицу массы.
Действительно,
МёУ . 8 (/ф) М ~ I '
если sin гр можно заменить на ф: sin грг^гр.
Две постоянные, А и <р, определяются по начальным условиям, например по
смещению и скорости в момент t=0. (Величина ф-
Рис. 1.2. Простой маятник.
21
угловое смещение, соответствующая "скорость" - рость dty/dt.) Таким
образом, имеем
if (t) = A cos (со/ ср),
Ф (О = щг = - sin (оЯ + ф),
это угловая ско-
так что
if (0) = A cos ф, if (0) = - (лА sin<p.
Из этих двух уравнений можно определить положительную константу А и угол
ф.
Пример 2. Масса и пружина; продольные колебания. Пусть масса М может
скользить по поверхности без трения. Она соединена с неподвижными
стенками при помощи двух одинаковых пружин, имеющих нулевую массу,
коэффициент жесткости К*) и длину
ап
а)
м
б)
гшттЩа
v/7777777'7/77777777',у77777/7,7/////ZZ/Z7#
Рис. 1.3. Продольные колебания.
а) Пружины в нерастянутом состоянии;
б) пружины растянуты и прикреплены к грузу М, который находится в
положении равновесия; в) общий случай.
в нерастянутом состоянии ай. В положении равновесия каждая пружина
растянута на длину а и, таким образом, имеет натяжение К(а-а0) (рис. 1.3,
а и б). Обозначим через z расстояние от левой стенки до массы М, тогда
расстояние массы до правой стенки равно 2а--г (рис. 1.3, в). Левая
пружина действует в направлении-г с силой К (г-ай), правая пружина - в
направлении +z с силой К (2а-г-п0). Полная сила Fz, действующая на массу
в направлении -j-z, будет равна сумме этих двух сил:
Fz = - K(z - а0) + К(2а-г-а0) = = -¦ 2К (z-cl).
По второму закону Ньютона
M~ = Fz = -2K(z-a). (9)
Смещение массы М относительно положения равновесия равно z-а. Обозначим
его через if (/):
if (0 = z(0 -а,
тогда
d2if d2z
dt% dt2
*) Его называют также силовой постоянной пружины, а иногда просто
жесткостью пружины. (Прим. ред.)
22
Теперь уравнение (9) можно переписать в виде
(10)
(П)
Общее решение уравнения (10) опять представляет собой гармоническое
колебание ф=A cos (аД+ср). Заметим, что из уравнения (11) следует:
о)2=сила на единицу смещения и на единицу массы, так как возвращающая
сила для смещения гр равна 2/0ф.
Пример 3. Массы и пружины; поперечные колебания. Система показана на рис.
1.4. Масса М находится между двумя одинаковыми
пружинами, концы которых закреплены в стенках. Пружины не имеют массы, их
коэффициент жесткости К и начальная длина а0. Когда масса М находится в
положении равновесия, каждая пружина имеет длину а. Мы пренебрегаем силой
тяжести. (Сила тяжести в этой задаче не образует никакой возвращающей
силы. Влияние силы тяжести проявится в том, что система провиснет, но при
наших приближениях это не скажется на результате.) В данном примере масса
М имеет три степени свободы. Она может двигаться в направлении оси г
(вдоль осей пружин), совершая продольные колебания. Этот случай был
рассмотрен выше. Масса М может перемещаться также в направлениях осей х и
у, совершая поперечные колебания. Для простоты будем рассматривать
движение только вдоль оси х. Можно предположить, что в системе имеется
какое-либо направляющее устройство (не вносящее трения), которое
разрешает движение только в этом направлении и препятствует движению
вдоль осей i/иг. Этим устройством может быть, например, веревка,
протянутая через просверленную в массе М дырку. Однако легко убедиться,
что в таком приспособлении нет необходимости. Из
а
а
\
М
Рис. 1.4. Поперечные колебания. а) Положение равновесия: б) общий случай
движения (по оси х).
23
симметрии рис. 1.4 видно, что если в данное время система колеблется
вдоль оси х, то нет никаких причин, которые могли бы вызвать движение
вдоль оси г или оси у. То же справедливо для каждой из двух других
степеней свободы: в результате колебаний вдоль оси г
не возникает силы, приводящей к движению вдоль осей х и у (или
к движению вдоль х и г при колебаниях вдоль у).
В равновесии (рис. 1.4, а) каждая пружина имеет длину а и натяжение Г0,
определяемое как
Тй = К(а-а,). (12)
В более общем положении (рис. 1.4, б) каждая пружина имеет длину I и
натяжение
Т = К(1-а0). (13)
Это натяжение направлено вдоль оси пружины. Возвращающая сила TsinO,
действующая на массу со стороны каждой пружины в направлении х,
представляет собой проекцию этого натяжения на ось х. Используя второй
закон Ньютона и равенство sin0=x//, найдем
M^- = Fx = -2TsmQ==-2K(l-a<l)±- = -2Kx(l-^y (14)
Уравнение (14) верно при сделанных предположениях (включая предположение
о "линейности" пружины или о справедливости для нее закона Гука (13)),
Заметим, что длина пружины I, которая появляется в правой части уравнения
(14), является функцией х. Из-за этого возвращающая сила, действующая на
массу М, не будет в точности пропорциональна смещению и (14) не будет
