Волны - Крауфорд Ф.
Скачать (прямая ссылка):
точным уравнением для гармонических колебаний.
Приближение "пружины". Существуют два интересных способа, которыми можно
получить приближенное уравнение с линейной возвращающей силой. Первый
способ-это приближение "пружины"*), когда мы пренебрегаем членом aja по
сравнению с единицей. •Поскольку I всегда больше, чем а, то тем более
можно пренебречь и членом ajl в уравнении (14). В этом приближении
уравнение
*) Значительное число опытов по механическим колебаниям и мысленных
примеров в этом томе связано с применением "slinky". Под этим жаргонным
названием (оно происходит от глагола "to slink" - красться, идти
крадучись) подразумевается спиральная пружина, состоящая из 100-150
витков плоской проволоки. В нерастянутом состоянии длина такой пружины 7-
10 см. Ее можно без остаточных деформаций растянуть до 3-5 м. Slinky -
распространенная детская игрушка, имеющая множество применений. Slinky
можно "переливать" из руки в руку, подобно струе жидкости, slinky можно
заставить спуститься со ступеньки на ступеньку по лестнице и т. д. Такая
игрушка является удачным объектом для демонстрации волновых явлений, и
автор широко этим пользуется. В книге при различных расчетах часто
используется "slinky approximation". Это - приближение, при котором
начальная длина пружины, подчиняющейся закону Гука, равна нулю. В
дальнейшем иместо слова slinky мы будем писать "пружина" (пружина в
кавычках). Фотографию "пружины" см. на стр. 87. (Прим. ред.)
24
(14) принимает вид
d2x dt2
= - 0)2X,
где
О)2 = - = ^OjL. w Ж Afa
(для я0 = 0).
(15)
(16)
Решение уравнения (15) - это гармоническое колебание х- =/lcos({D^-|-(p).
Заметим, что на амплитуду А не наложено никаких ограничений. Она может
быть очень большой, но возвращающая сила будет оставаться линейной.
Заметим также, что частота поперечных колебаний, определяемая уравнением
(16), совпадает с частотой продольных колебаний, определяемых уравнением
(11). В общем случае это не так. Частоты совпадают лишь дая приближения
"пружины", где предполагается а0=0.
Приближение малых колебаний. Если нельзя пренебречь а0 (например, в
обычных лекционных опытах с резиновым жгутом), то приближение "пружины"
неприменимо. Тогда сила Fx в уравнении (14) - нелинейная функция х.
Однако мы покажем, что если х мало по сравнению с длиной а, то I
отличается от а только на величину порядка а(х/а)2. В приближении малых
колебаний мы пренебрегаем теми членами в формуле для Fx, которые
нелинейны по х!а. Займемся теперь алгеброй.
Мы хотим выразить I в уравнении (14) как 1-а-\- "что-то", исчезающее
при х=0. Так как 1>а независимо от знака х, это "что-то"
должно быть четной функцией х. Из рис. 1.4 следует:
I2 = а2х2 = а2 {1 -j- е), где е = х21а2.
Тогда
1
(17)
где мы использовали разложение в ряд Тейлора [см. приложение I, уравнение
(20)1 для (1+х)п при п=-Ч2 и х-е. Приближение малых колебаний означает,
что е<^1. В этом случае
1 -
-4[
(18)
Подставив (17) в (14), получим
d2x _ 2Кх (1 аа\ 2/Ос
~dF~
М
М
1-
2 К
2 а2 К
-1Ь
~ Ма (а ao)* + М ао
М
(19)
Пренебрегая членами третьего и более высокого порядка малости (малые
колебания), получим
d?K
It2
-я0)х==-2
Т ох Ма
(20)
1Мы написали Т0 из выражения (12).]
25
Уравнение (20) можно переписать в виде
d?x 2
ж=-(ох\
где
= (2D
Таким образом, x(t) является гармоническим колебанием:
x(t) = A cos(co^ + <p).
Заметим, что квадрат частоты со2 [формула (21)] и в этом случае равен
возвращающей силе, приходящейся на единицу смещения и единицу массы.
Действительно, для малых колебаний возвращающая сила равна удвоенному
натяжению Т0 (две пружины), помноженному на sin Qttx/a.
Таким образом, имеем
Возвращающая сила на единицу ) 2Го (х/а) __ 2Г" смещения и на единицу
массы / хМ Ма
Заметим, что частота поперечных колебаний для обоих приближений, как
следует из сравнения уравнений (16) и (21), равна V2Тд/Ма. В приближении
"пружины" продольные колебания имеют ту же частоту, что видно из
уравнений (11) и (16).
Если приближение "пружины" не выполняется (т. е. если нельзя пренебречь
aja), то продольные колебания и (малые) поперечные колебания будут
происходить с разной частотой, что видно из уравнений (11), (12) и (21).
В этом случае
К)пРод = ж, (22)
Ю"опер = ш\ То~К{а а0). (23)
Для малых колебаний резинового жгута (когда нельзя пренебречь членом
a.Jа) частота продольных колебаний больше, чем поперечных:
^прод 1
1 -fa.
а
П р и м е р 4. LC-цепь. (В томе II, гл. 8, колебания в цепи, состоящей из
емкости и самоиндукции, изучены более подробно.) Рассмотрим цепь из
последовательно соединенных самоиндукции L и двух емкостей С (рис. 1.5).
Пусть заряды на верхних пластинах левого и правого конденсаторов равны Qx
и Q2 соответственно. Электродвижущая сила (э. д. с.), приложенная к
индуктивности, равна "обратной э. д. с." L dl/dt. Заряд Qt создает э. д.
с. С~1Q1, так что положительный заряд Qt заставляет ток течь в
направлении, указанном стрелкой на рис. 1.5. Таким образом, положительный
