Волны - Крауфорд Ф.
Скачать (прямая ссылка):
суперпозиция мод.
Пример 8. Продольные колебания двух связанных масс. Исследуемая массы М
могут скользить Три одинаковые пружины
Рис. 1.9. Продольные колебания. о.) Равновесие; б) общий случай движения.
система показана на рис. 1.9. Две по поверхности стола без трения,
невесомы, и каждая имеет коэффициент жесткости К- Предостав ляем читателю
найти общее решение для этой системы (задача 1.23), а здесь определим
нормальные моды. Нам известно, что их должно быть две, так как
колеблющаяся система имеет две степени свободы. Каждый движущийся элемент
(каждая масса) в моде совершает гармоническое колебание. Это значит, что
все движущиеся элементы колеблются с одинаковой частотой, т. е.
возвращающая
36
сила, приходящаяся на единицу смещения и единицу массы, одинакова для
обеих масс. (В п. 1.2 мы показали, что величина со2 равна возвращающей
силе, приходящейся на единицу массы и на единицу смещения. Это
справедливо для каждого движущегося элемента, вне зависимости от того,
является ли он отдельной изолированной системой с одной степенью свободы
или частью большой системы. При этом на движение накладывается только
одно требование: оно должно быть гармоническим движением с определенной
частотой.)
В рассматриваемом примере обе массы равны. Поэтому нам нужно найти такое
состояние системы, для которого величина возвращающей силы на единицу
смещения оставалась бы одинаковой для обеих масс. Посмотрим, приведет ли
это условие к правильному результату. Допустим, что мы сместили обе массы
из положения равновесия, когда пружины не растянуты, вправо на одну и ту
же величину. Будет ли возвращающая сила одинаковой для каждой массы?
Заметим, что при таком смещении длина центральной пружины относительно
положения равновесия не изменилась, поэтому эта пружина не действует на
массы. Левая масса будет стремиться к движению влево, потому что левая
пружина растянута. Поскольку правая пружина сжата на ту же длину, на
какую растянута левая пружина, она будет толкать правую массу с такой же
силой влево. Таким образом, мы нашли одну моду!
Мода 1: о|)а (0 = ^(0. 0)1 = К/М. (60)
Из выражения для частоты колебаний а\=К/М в формулах (60) следует, что
колебания совершаются так, как если бы центральной пружины не было.
Теперь попытаемся найти вторую моду. Из соображений симметрии можно
предположить, что эта мода соответствует движению масс "а" и "b" в
противоположные стороны. Если масса "а" смещена на расстояние вправо, а
масса "b" - на такое же расстояние влево, то на каждую из масс действует
одинаковая возвращающая сила. Таким образом, для второй моды фь=-гра.
Чтобы найти частоту со2, достаточно рассмотреть движение одной массы и
определить для нее величину возвращающей силы, приходящуюся на единицу
смещения и на единицу массы. Рассмотрим левую массу "а". Под действием
левой пружины она будет двигаться влево, и на нее будет действовать сила
F г=-Ktya- Под действием правой пружины она также будет двигаться влево,
и пружина действует на нее с силой Fz=-2Ktya. (Двойка появляется потому,
что левая пружина сжата на 2гр".) Полная сила, действующая на массу "а"
при смещении ее на гр", равна -3Мфа, а частота равна 3К/М.
Мода 2: фа = - фь, ю2 = 3К/М. (61)
Обе моды колебаний показаны на рис. 1.10.
Решим эту задачу иначе, используя метод нормальных координат. Нормальные
координаты являются линейной комбинацией обычных координат. Вместо двух
связанных линейных уравнений
37
нормальные координаты позволяют получить два независимых уравнения
движения. Из рис. 1.9, б видно, что для общего случая уравнения движения
имеют вид
М1$Г=-КЪ + К(*Ь-*а)> (62)
М^ = -К(Ъ-Ъа)-ЪIV (63)
Легко заметить, что, сложив эти два уравнения, а затем вычтя
Рис. 1.10. Нормальные моды продольных колебаний. а) Мода с меньшей
частотой; 6) мода с большей частотой.
одно из другого, мы получим два искомых независимых уравнения. Складывая
(62) и (63), имеем
Л2
М-~^($а+%) = - К^а + ^ь). (64)
Вычитая (63) из (62), получим
М = - 3 К (фв-фь)- (65)
Уравнения (64) и (65) - независимые уравнения относительно координат
'Фо+^ь и фв-Их решения имеют вид
^a + % = 'M0 = '4icos(<V + cpi)> а>1 = К/М, (66)
Фй-грь ^^(0 = 42 cos (<V + ф2), (c)1 = 3 К/М, (67)
где At и ф! - постоянные для моды 1, а А2 и <р2 - для моды 2.
Мы видим, что tyi(t) соответствует движению центра масс, так как V2
(фа+Фь) определяет положение центра. (Мы могли бы разделить уравнение
(64) на два и рассматривать как положение центра масс. Постоянный
множитель V2 несуществен.) Координата ф2 - это величина сжатия
центральной пружины или (что то же самое) относительное смещение двух
масс. При достаточной сообразительности мы сразу выбрали бы координаты фх
и ф2, так как движение центра масс и "внутреннее движение" (относительное
движение двух колеблющихся элементов) являются с физической точки зрения
особенно интересными переменными. Найти простое фи-
38
зическое истолкование нормальных координат часто не так просто. Обычно мы
