Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Крауфорд Ф. -> "Волны" -> 13

Волны - Крауфорд Ф.

Крауфорд Ф. Волны — М.: Наука, 2007. — 528 c.
Скачать (прямая ссылка): volni2007.djvu
Предыдущая << 1 .. 7 8 9 10 11 12 < 13 > 14 15 16 17 18 19 .. 263 >> Следующая

цепях.
В общем случае движение системы с двумя степенями свободы может иметь
очень сложный вид, не похожий на простое гармоническое движение.
Мы, однако, покажем, что для двух степеней свободы и при линейных
уравнениях движения наиболее общее движение является суперпозицией двух
независимых простых гармонических движений, происходящих одновременно.
Эти два простых гармонических движения (описаны ниже) называются
нормальными или собственными колебаниями или гармониками, а также
нормальными модами колебаний или просто модами *).
*) В дальнейшем наряду с термином "гармоника" мы будем употреблять термин
"нормальная мода" или просто "мода". Он характеризует как собственную
частоту колеблющейся системы, так и ее пространственную конфигурацию.
(Прим. ред.)
31
Создавая определенные начальные условия (определенные начальные значения
фа, ф6 и dtyjdt, dtyb/dt), можно приготовить систему, колебания которой
соответствуют только одной из мод.
Свойства мод. Если существует лишь одна мода колебаний, то в системе
совершается простое гармоническое движение. Все части системы колеблются
с одной частотой, одновременно проходя через положение равновесия (для
которого ф=0). Например, движения фа=A cos at и ф6=В sin cot или фа=/4cos
(Oj/ и t|)6=Bcos (o2t не могут соответствовать одной моде, так как в
первом случае различны фазовые постоянные, а во втором - различны
частоты. Пусть для одной моды (назовем ее мода 1) имеем
фа(/) = ^iCOS(CO^-f ф,), ]
Фь (0 = ^ i cos (ci>i^ + q>i) = ~ фа (t): I ^
Здесь у обеих степеней свободы одна и та же частота и фаза.
Для моды 2 движение имеет вид
^a(0 = ^2cos(co2/ +ф2), ]
4>6(0 = ?2cos(o>2f+cp2)= j (42)
Каждая мода имеет свою собственную характерную частоту: coj для моды 1 и
о)2 для моды 2. Для каждой моды система имеет характерную "конфигурацию",
или "форму", определяемую отношением амплитуд движений по двум
направлениям: А11В1 для моды 1 и AJB2 для моды 2. Заметим, что для данной
моды отношение фа/ф6 постоянно и не зависит от времени. Оно определяется
в нашем примере отношениями AjBt или AJB2, которые могут быть либо
положительными, либо отрицательными.
Наиболее общим движением системы является (как мы покажем) суперпозиция,
при которой движение содержит обе моды колебаний одновременно:
Ф" (0 = Аг cos (ю^ + ф,) + Л2 cos (ю2* + ф2), ф6 (*) = Вх cos (<V + <Pi)
+ Вг cos (o>2t + ф2)
(43)
Рассмотрим ряд примеров.
Пример 6. Простой сферический маятник. Этот простейший пример, к
сожалению, не раскрывает всей сложности общего движения, определяемого
уравнениями (43). Дело в том, что обе моды, соответствующие колебаниям
относительно направлений х и у, имеют одну и ту же частоту (e)2=g/[) и в
данном случае мы получаем более простой результат, следующий из уравнений
(39) и (40):
Х(0 = Фа(0 = ^1С°8(Ю1^ + ф1). -<"! = (c), \
y(t)^tyb(t) = B2cos(bi2t + ф2). (c)" = (c)! = (c). J
В таких случаях говорят, что имеет место "вырождение" мод.
32
П р и м е р 7. Двухмерный гармонический осциллятор. На рис. 1.7 показана
масса М, которая может свободно двигаться в плоскости ху. В направлении
оси х она соединена со стенками двумя невесомыми пружинами с
коэффициентом жесткости Ки а в направлении у - двумя другими невесомыми
пружинами с коэффициентом жесткости К2. В случае малых колебаний, когда
можно пренебречь членами х2/а2, у21а2 и ху/а2, мы покажем, что х-
компонента возвращающей силы полностью обусловлена пружинами Кг, а ^-
составляющая
н
К,
кшш"
CS.
\кг
м л) ЙШШ

ЧЧТЧЧЧЧЧЧЧ\ЧЧЧЧЧЧЧ\ЧЧ\ЧЧЧ'\ЧЧЧЧЧЧЧЧТ^
а
а
а)
б)
Рис 1 7 Двухмерный гармонический осциллятор. а) Равновесие; б) общий
случай движения.
возвращающей силы зависит только от пружин К2¦ В этом можно убедиться,
написав выражения для F х и Fy и отбросив нелинейные члены. Проще всего
это сделать следующим образом: начнем с положения равновесия (рис. 1.7,
а). Представим себе мысленно, что массаМ получила небольшое смещение х в
направлении -\-х. В этом случае возвращающая сила равна
Fx = -2K1x, Fy= 0.
Теперь (из этого положения) дадим массе небольшое смещение у в
направлении +г/. Нужно выяснить, изменилось ли значение Fx. Пружины K-l
изменили длину на малую величину, пропорциональную у2. Этим изменением мы
пренебрегаем. Пружины К2 изменили длину на величину, пропорциональную у
(одна стала длиннее, другая короче), но проекция их силы на направление х
также пропорциональна х. Итак, иксовая составляющая силы от пружины К2
пропорциональна произведению двух малых величин ух, и этой составляющей
мы пренебрегаем. Таким образом, величина Fх не изменилась. То же
относится и к Fy. Мы получили два линейных уравнения:
M^ = -2KlX и М^ = -2К2у, (45)
dt2
решения которых
х - j41COS (м^ + фг), у = В2 cos(oy+ ф2),
СО?
СО?
: 2KJM, 2 ЮМ.
(46)
2 Ф. Крауфорд
33
Из этих уравнений следует, что движения в направлениях х и у не связаны
между собой и что каждое движение представляет собой гармоническое
колебание с собственной частотой. Движение вдоль оси х соответствует
Предыдущая << 1 .. 7 8 9 10 11 12 < 13 > 14 15 16 17 18 19 .. 263 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed