Волны - Крауфорд Ф.
Скачать (прямая ссылка):
которые описываются такими уравнениями, подчиняются принципу
суперпозиции. Мы не будем рассматривать никаких других колебаний.
Суперпозиция начальных условий. В качестве примера применения понятия
суперпозиции рассмотрим малые колебания простого маятника. Допустим, что
есть два решения уравнения: фх и ф2, соответствующие двум разным
начальным условиям (смещение и скорость). Предположим, что есть еще одно
начальное условие, которое является суммой соответствующих начальных
условий для фх и для ф2. Это значит, что начальное смещение маятника
представляет собой алгебраическую сумму начальных смещений фх (^) и ф2
(^), а начальная скорость - алгебраическую сумму скоростей,
соответствующих фх иф2. Чтобы найти решение ф3, нам достаточно просто
сложить фх и ф2: ф3=ф1+ф2. Докажите это. Указанный результат справедлив
только для маятника, совершающего малые колебания, когда нелинейными
членами в возвращающей силе можно пренебречь.
Линейные неоднородные уравнения. Линейные неоднородные уравнения (т. е.
уравнения, содержащие члены не зависящие от ф) также удовлетворяют
принципу суперпозиции, хотя и несколько другого рода. Существует много
физических явлений, аналогичных гармоническому осциллятору, подверженному
воздействию внешней вынуждающей силы F(t), не зависящей от ф(^).
Уравнение движения в этих случаях имеет вид
42фг _ d2 (Ф1 + Ф2) dt2 dt2 ~ dt2
(32)
- Сфх-Сф2 = - С (фх + ф2), аф* + аф* = а (фх + ф2)2,
(33;
(34)
(35)
Рф! + Рф1 = Р(ф1 + ф2)3 и т. д.
лмгф (о
dt2
(36)
29
Здесь F (t)-"внешняя" вынуждающая сила, не зависящая явно от смещения
ф(0- В этом случае принцип суперпозиции выглядит следующим образом.
Предположим, что движение (t) соответ-
ствует возмущающей силе Ft (t) (в том случае, когда на систему действует
только сила F1(/)), а движение ф2 (t) вызывается возмущающей силой F2 (t)
[в том случае, когда действует только сила F2 (*)]. Теперь, если обе
возмущающие силы, F1(t) и F2(t), действуют одновременно, так что полная
возмущающая сила представляет собой суперпозицию F1(0+F2(/), то
соответствующие колебания системы [т. е. решение уравнения (36)] будут
определяться суперпозицией г]з (О-"Ч3! (t). Покажите сами, что это
справедливо
для линейного неоднородного уравнения (36) и несправедливо для
нелинейного уравнения относительно ф (t) (см. задачу 1.16).
Системы, с которыми мы имели дело в п. 1.2 и при иллюстрации принципа
суперпозиции, обладают одной степенью свободы. Однако принцип
суперпозиции применим для систем с любым числом степеней свободы (если
уравнения линейны), и мы в дальнейшем очень часто будем им пользоваться.
П р и м е р 5. Сферический маятник. Для иллюстрации применения принципа
суперпозиции в случае двух степеней свободы рассмотрим движение маятника,
состоящего из гири, масса которой М, подвешенной на нити длиной I. Такой
маятник может свободно смещаться в любом направлении и называется
сферическим. В положении равновесия нить вертикальна и направлена вдоль
оси г. Пусть координаты гири маятника равны х=г/=0. Для малых смещений
вдоль осей х и у легко показать, что x(t) и у (t) удовлетворяют
дифференциальным уравнениям
Эти два уравнения "не связаны". Под этим мы подразумеваем, что х-
компонента силы зависит только от координаты х, но не от у, а у-
компонента зависит только от у. Таким образом, (37) не содержит у, а (38)
не содержит х. Уравнения (37) и (38) имеют решения
где co2=gИ. Константы Alt А2, tpj и q>2 определяются из начальных
условий, т. е. из смещений и составляющих скоростей по направлениям х и
у. Полное движение может быть представлено как суперпозиция движения
хx(t) и движения уy(t), где х и у- единичные векторы. Возможность
применения принципа суперпозиции основана на том, что мы можем определить
отдельно движения по оси х и у, а затем просто сложить оба движения,
чтобы получить результирующее движение с двумя степенями свободы.
(38)
(37)
x(t) = At cos (со^ Д- ф1), у (t) = A, cos((0f + cp2),
(39)
(40)
30
1.4. Свободные колебания систем с двумя степенями свободы
В природе существует множество интересных систем, имеющих две степени
свободы. Наиболее красивы примеры молекул и элементарных частиц (особенно
нейтральных К-мезонов). Но для изучения этих систем необходимо знание
квантовой механики. Более простыми примерами являются двойной маятник
(один маятник подвешен к опоре, а второй-к гире первого маятника); два
маятника, связанные пружиной; горизонтальная нить с двумя шариками; две
связанные LC-цепи (рис. 1.6) и т. п. Чтобы описать состояние таких
систем, нужны две переменные, фа и ф6. Например,
\ч\\\\\\\\\\\\\\\\ч\ч\\\\у\\у
ЛШ"
Рис. 1 6. Системы с двумя степенями свободы.
Колебания масс ограничены плоскостью чертежа.
в случае сферического маятника переменные фй и - это положения маятника в
двух взаимно перпендикулярных направлениях. В случае связанных маятников
фа и соответствуют положениям каждого'маятника; для двух связанных LC-
цепей фй и представляют собой заряды на двух емкостях или токи в обеих
