Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Крауфорд Ф. -> "Волны" -> 8

Волны - Крауфорд Ф.

Крауфорд Ф. Волны — М.: Наука, 2007. — 528 c.
Скачать (прямая ссылка): volni2007.djvu
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 6 7 < 8 > 9 10 11 12 13 14 .. 263 >> Следующая

амплитудой.-, со - угловая частота, имеющая размерность рад1сек\
v=o)/2jt- частота, измеряемая в герцах (гц) или в циклах в секунду;
величина, обратная v, называется периодом Т и измеряется в секундах:
г=4; (2>
Ф называется фазовой постоянной или фазой колебания. Часто значение фазы
нас не интересует, и мы можем всегда "перевести часы" так, чтобы ф стало
равным нулю. Тогда вместо более общего уравнения (1) имеем \[)=Acos(o^
или ф=А sin(о^.
Возвращающая сила и инерция. Колебания, описываемые уравнением (1),
являются результатом таких свойств физической системы, как возвращающая
сила и инерция. Возвращающая сила стремится вернуть "движущийся элемент"
в положение равновесия (ф=0), в результате он приобретает скорость
dty/dt. Чем больше ф, тем больше возвращающая сила. В случае LC-цепочки
возвращающая сила возникает из-за отталкивания между электронами, которое
препятствует их скапливанию на одной из пластин конденсатора и стремится
распределить их на пластинах так, чтобы заряд каждой пластины был равен
нулю. Инерция системы противодействует любому изменению dty/dt. Инерция
LC-цепочки определяется индуктивностью L, которая препятствует изменению
величины тока dtyidt (в этом случае ф - заряд на пластинах конденсатора),
19
Колебательный режим. Если колебания начинаются при положительном смещении
ф и скорости dtyldt, равной нулю, то возвращающая сила создает ускорение,
которое вызывает появление скорости, обратной по знаку смещению.
"Отрицательная" скорость достигает максимума к моменту возвращения if) в
положение равновесия ф=0. При этом возвращающая сила станет равной нулю,
а наличие отрицательной скорости вызовет появление и нарастание
отрицательного смещения. Возвращающая сила становится при этом
положительной, но теперь она должна преодолевать инерцию, обусловленную
отрицательной скоростью. Наконец, скорость станет равной нулю
(ckty/dt=0), а смещение - максимальным и отрицательным (-ф) и процесс
будет повторяться в обратной последовательности. Рассмотренный цикл
повторяется: возвращающая сила пытается вернуть гр в нулевое положение,
тем самым вызывая движение с некоторой скоростью; инерция в свою очередь
сохраняет скорость, что является причиной "проскакивания" гр через
нулевое положение. Система совершает колебания.
Физический смысл со2. Угловая частота колебаний со связана с физическими
свойствами системы (мы докажем это позже) соотношением
со2 = возвращающая сила на единицу смещения и на единицу массы.
(3)
Иногда, как, например, в случае LC-цепи, входящая в эту формулу "масса"
имеет условный смысл, являясь лишь характеристикой инерции системы (см.
пример 4).
Затухающие колебания. Если колебания некоторой системы описываются
уравнением (1) и на систему не действуют никакие внешние силы, то она
может совершать колебания бесконечно долго. Однако в действительности
всегда имеется трение (или другое сопротивление движению), которое
вызывает затухание колебаний (говорят, что трение "демпфирует"
колебания). Поэтому более реальным типом колебаний являются затухающие
колебания. Если система начала колебаться в момент времени ^=0 (в этот
момент мы толкнули маятник или замкнули ключ LC-цепочки и т. д.), то мы
имеем (см. том I, гл. 7, стр. 236)
ф (t) = Ае~t/2X cos (at + ф) (4)
для 00 и ф=0 для f<0. Для простоты в последующих примерах мы будем все же
пользоваться уравнением (1) вместо уравнения (4). Это значит, что мы
пренебрегаем трением (или сопротивлением в случае LC-цепи) и считаем
время затухания т бесконечно большим.
Пример 1. Маятник. Простой маятник состоит из "невесомой" нити длиной /,
один конец которой закреплен, а ко второму прикреплен "точечный" груз с
массой М (рис. 1.2). Обозначим через ф угол (в рад) отклонения маятника
от вертикали. (Маятник
20
колеблется в заданной плоскости, и его положение полностью определяется
углом ф.) Смещение груза маятника по периметру окружности равно /гр;
такому смещению соответствуют мгновенная тангенциальная скорость Idty/dt
и тангенциальное ускорение /сРфЛД2. Возвращающая сила представляет собой
тангенциальную составляющую силы веса Mg, действующей на маятник. Эта
составляющая равна -Mg simp. По второму закону Ньютона
М11й2=~ M"rsin4>(0- (5)
Воспользуемся разложением в ряд Тейлора [см. приложение I, уравнение
(4)]:
sinip = ip--fr + 'fj-• • ¦" (6)
где точками обозначены остальные члены ряда.
Мы видим, что для достаточно малых ф мы можем пренебречь в (6) всеми
членами, за исключением гр. На вопрос: что значит "при достаточно малых
гр"? - нет общего ответа. Все зависит от точности измерения функции ф(^)
в задуманном эксперименте (мы имеем дело с физикой, и нужно помнить, что
ничто не может быть измерено совершенно точно). Например, для гр=0,10 рад
(5,7°) sin ф=0,0998, и для ряда задач "0,0998=0,1000" будет грубым
приближением. С другой стороны, для гр= 1,0 рад (57,3°) sinгр=0,841, но
для некоторых случаев допустимо считать "0,8= 1,0".
В связи с вышесказанным уравнение (6) можно переписать следующим образом:
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 6 7 < 8 > 9 10 11 12 13 14 .. 263 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed