Волны - Крауфорд Ф.
Скачать (прямая ссылка):
заряд Q1 обеспечивает положительное значение L dl/dt. Точно так же из
26
рис. 1.5 следует, что положительный заряд Q2 создает отрицательное
значение L dl/dt. Таким образом,
L~jf - C~1Q1-C~1Q2
(24)
В положении равновесия на емкостях нет заряда. Ток / увеличивает заряд Q2
за счет заряда Qj. Используя закон сохранения заряда и условие знаков
(см. рис. 1.5), имеем
Qi = -Q"
dQ2
dt
I.
(25)
(26)
/
Из уравнений (25) и (26) • следует, что в нашей задаче есть только одна
степень свободы: мгновенное состояние системы можно описать, задавая или
Qlt или Q2, или I. В дальнейшем (когда мы перейдем к системам с большим
числом степеней свободы) будет удобнее работать с током /, поэтому
воспользуемся им и сейчас: dJ
L^rr = C~1Q1 - C-1Q2 = -2C-1Q2,
Л
л
' dt аЧ
2С--^ = -2С-Ч.
Ток I (t) подчиняется уравнению d4 dt2
: ----СО2/,
где
со
2С-
(27)
I
Рис. 1.5. Последовательное соединение самоиндукции L и емкостей С.
Показано условие знаков для Q и I. Заряд Qi (или Q2) положителен, если
верхняя обкладка заряжена положительно по отношению к иижней; ток /
положителен, если положительный заряд течет в направлении стрелок.
решением которого являются гармонические колебания I (/)= = А cos (соН-
ф).
Уравнение (27) показывает, что и для электрических колебаний справедливо
равенство
со2 = возвращающая сила на единицу "смещения" и на единицу "массы".
Действительно, в данном случае роль силы играет э. д. с., равная 2C-1Q, а
роль "смещения" принадлежит заряду Q. Индуктивность L играет роль
"массы". Поэтому выражение для со2 имеет вид
2C-!Q 2
со
LQ
LC
Легко заметить, что в примерах 2, 3 и 4 математика одинакова. Мы достигли
этого тем, что специально подобрали примеры систем, обладающих
пространственной симметрией ("инерционная"
27
масса в центре, "вынуждающие" силы приложены симметрично с каждой
стороны). Такой параллелизм часто полезен как мнемоническая схема.
1.3. Линейность и принцип суперпозиции
Примеры, рассмотренные в п. 1.2, соответствуют случаю, когда возвращающая
сила пропорциональна -ф и не зависит (например) от ф2, -ф(r) и т. д.
Дифференциальное уравнение, содержащее не более чем первую степень ф и
первые степени производных dty/dt, d2ty/dt2 и т. д., называется линейным
относительно переменной ф и ее производных по времени. При этом уравнение
называется однородным, если оно не содержит членов, не зависящих от ф.
Если в уравнении появляются степени функции ф или ее производных, то
уравнение называется нелинейным, например, уравнение (5) нелинейно, что
очевидно, если подставить в него выражение (6) для sin ф. Только
пренебрегая в разложении Бшф высокими степенями ф, мы получим линейное
уравнение.
Обычно нелинейные уравнения решать трудно. (Нелинейное уравнение для
маятника было решено в т. I, стр. 251.)К счастью, существует много
интересных физических ситуаций, для которых линейные уравнения дают очень
хорошее приближение. Мы почти всегда будем иметь дело с линейными
уравнениями.
Линейные однородные уравнения. Линейные однородные дифференциальные
уравнения имеют следующее интересное и важное свойство: сумма двух любых
решений уравнения также является его решением. Нелинейное уравнение таким
свойством не обладает: сумма двух решений нелинейного уравнения не будет
его решением.
Мы докажем эти положения сразу для обоих случаев (линейного и
нелинейного). Предположим, что дифференциальное уравнение движения
системы с одной степенью свободы имеет вид
^^1 = _Сф + аф2 + Рф3 + уф4 + ..., (28)
как это было, например, в случае маятника [см. уравнения (5) и
(6)1 и в случае поперечных колебаний массы, подвешенной на
пру-
жинах [уравнение (19)1. Если константы а, |5 и у и т. д. все равны нулю
или с достаточно хорошим приближением могут быть положены равными нулю,
то уравнение (28) однородно и линейно. В противном случае оно нелинейно.
Теперь предположим, что ф! (О - одно решение уравнения (28),
соответствующее определенным начальным условиям (начальное смещение и
начальная скорость гири маятника), а ф2 (t) - другое его решение,
отвечающее другим начальным условиям. По сделанному выше предположению
имеем
^1 = _Сф1 + аф2+рф? + уф!+ ... (29)
и
^1 = - Сф2 + аф1 +рф1 + уф|+... (30)
28
Возникает вопрос: будет ли суперпозиция фх и ф2, определенная как ф (0+Фз
(0> Удовлетворять уравнению (28), т. е. спра-
ведливо ли равенство
?^У^- = -С(^1+^) + а(^ + ^)г + Р(^ + %)3+...? (31)
На вопрос (31) можно ответить утвердительно, если коэффициенты а, р и т.
д. равны нулю. Это легко показать. Сложим уравнения (29) и (30). Эта
сумма совпадает с уравнением (31) только в том случае, если удовлетворены
следующие условия:
Уравнения (32) и (33) справедливы всегда. Равенства (34) и (35) неверны,
если а и р не нули. Таким образом, мы видим, что суперпозиция двух
решений является решением тогда и только тогда, когда уравнение линейно.
То, что суперпозиция решений также представляет собой решение, является
особенностью однородного линейного уравнения. Говорят, что колебания,
