Волны - Крауфорд Ф.
Скачать (прямая ссылка):
еще различить обе ноты в трели? Теперь возьмите трель на двух соседних
басовых нотах, перебирая клавиши вначале очень медленно, затем все более
быстро. Существует ли частота трели, начиная с которой звучание двух нот
переходит в беспорядочную, неразличимую смесь? Оцените эту частоту.
Теперь сделайте расчет и решите, насколько хорошо ваше ухо и мозг
различают два отдельных максимума в разложении Фурье в том случае, когда
ширина пиков по частоте (измеренная на уровне половинной мощности) не
мала по сравнению с расстоянием (по частоте) между максимумами пиков.
6.14. Групповая скорость за граничными частотами. Покажите, что для
системы связанных маятников групповая скорость на частотах, меньших
нижней граничной частоты и больших верхней граничной частоты, равна нулю.
Чему равна фазовая скорость на двух этих частотах? Нарисуйте график
дисперсионного соотношения, т. е. график зависимости со от k. Покажите,
как из этой диаграммы можно определить фазовую и групповую скорости.
6.15. Фурье-анализ экспоненциальной функции. Рассмотрим функцию f(t),
которая равна нулю для отрицательных t и равна ехр (-t/2t) для ?Ы).
Найдите коэффициенты Фурье Л(со) и ?(со) этой функции в случае
представления f(t) непрерывной суперпозицией (интегралом Фурье):
СО
f(t)=^ [Л (со) sin со/ -f-В (со) cos a>t] dco. о
6.16. Фурье-анализ одного колебания синусоидальной волны. Предположим,
что функция f{t) равна нулю всюду, за исключением интервала от t==t1 до
t=t2. Предположим далее, что на интервале &t=t2-tx функция f(t) совершает
точно одно синусоидальное колебание с угловой частотой со0 (т. е.
Д^=7'0=2я/ш0), причем на концах интервала функция имеет нулевые значения.
Найдите коэффициенты Фурье Л (со) и ?(со) в случае представления этой
функции интегралом Фурье:
СО
f(t)= ^ [Л (со) sin co(f - f")-f-? (со) cos со(/ - /0)] dco.
о
Нарисуйте примерный график зависимости коэффициентов Фурье от со.
Нарисуйте также функцию f(f).
6.17. Струна с грузами. Выведите выражения для групповой скорости бегущих
волн в струне с грузами. Нарисуйте (грубо) график дисперсионного
соотношения для струны с грузами при изменении k от k=0 до максимального
значения. Нарисуйте (грубо) график зависимости групповой скорости от k и
график зависимости фазовой скорости от k для 0<k<kM3KC.
287
6.18. Фазовая и групповая скорости света в стекле. Предположим, что
дисперсия определяется одним резонансом. Пренебрегая затуханием, имеем
,,, о / , , Шр \ а 4лЛ'е2
с2/г2 = со2(Н-г-Ч Ь "р=-
где /V - число резонирующих электронов в единице обьема.
а) Нарисуйте график зависимости квадрата показателя преломления п2 от (0
для 0<ш<оо. Важными параметрами этого графика являются его значения и
наклон при со=0, при со, чуть меньшем и чуть большем оз0, при ш = У соо +
сор и при со, равном бесконечности. Как вы объясните область, где п2
отрицательно? область около со0?
б) Выведите следующую формулу для квадрата групповой скорости:
2
1 • 0)/' .
'Гр\2 со2 -(О3
2 2
1 -I- ЮрСОр (cog-ffl 2)2
Постройте зависимость (сур/с)2 от со. Покажите, что(агр/с)2 всегда
меньше, чем единица, что является требованием теории относительности.
Покажите, чтогу2 отрицательно в том же диапазоне частот, где /г2
отрицательно. Для какой частоты групповая скорость максимальна? Чему
равна групповая скорость на этой частоте?
6.19. Фазовая и групповая скорости в глубокой воде. Дисперсионное
соотношение имеет вид
Т?>3
co2 = g? + -,
где g= 980, Т= 72 и р= 1,0 (все в единицах СГС). Выведите формулу для
групповой и фазовой скорости. Покажите, что групповая скорость равна
фазовой, когда gk и Tk3/р равны, и что это имеет место для длины волны
1,7 см и скорости
23,1 см/сек. Покажите, что для волн поверхностного натяжения, т. е. волн
с длиной, значительно меньшей 1,7сш, групповая скорость равна фазовой,
умноженной на 1,5. Покажите, что для гравитационных волн, т. е. волн с
длиной волны значительно большей, чем 1,7 см, групповая скорость равна
половине фазовой. Продолжите табл. 6.1 из п. 6.2, включив в нее волны с
длиной 128 м и 256 м. Значение скоростей дайте в км/ч.
6.20. Фурье-анализ одиночного прямоугольного импульса. Рассмотрим прямо-
сгольный импульс ф(/), равный нулю для всех t, кроме интервала от 4 до
1г. Внутри этого интервала ф(/) имеет постоянное значение 1/Дt, где At-
t2-4-Пусть tQ - время в центре этого интервала. Покажите, что функция
ф(/) может быть представлена следующим образом:
СО СО
ф (t) = ^ Л (со) sin со (t -10) dco+ ^ В (со) cos со (t -10) dco,
о
где
Л , ч О D / Ч 1 S,n
Л (со) = 0, В (со) -------------------- .
к ' я %Дta>
Постройте график зависимости В от со. В пределе, когда Д/ стремится к
нулю, ф(/) стремится к дельта-функции, которую обозначим 6(/-ta). Чему
равно В (со) для Дельта-функции?
6.21. Фурье-анализ цуга синусоидальных колебаний. Пусть функция ф(4 равна
нулю вне интервала, простирающегося от 4 до 4- Длина интервала равна Д^=
= 4-4, а центральное значение 4=1/г(4+4)- Положим, что ij;(/)=cos со {t-
