Волны - Крауфорд Ф.
Скачать (прямая ссылка):
рассвете и на закате (для "статической модели" невращающейся Земли). Так,
по крайней мере, будет вести себя вода у островов в океане. Следует
ожидать, что в гавани вода будет втекать inn вытекать. Теперь рассмотрим
нашу модель с каналами и будем считать, что Земля вращается. Когда в этом
случае следует ожидать появления приливов в канале на экваторе, в
полнолуние или новолуние? Когда приливы будут возникать на ы ротах,
больших чем 0О? (Указание. Рассмотрите вынужденное движение осциллятора.)
Дальнейшие сведения о приливных волнах, о сейшах в Женевском озере, об
эволюции системы Земля - Луна и о других связанных с проблемой прилшюв
явлениях можно получить в популярной классической книге "Приливы",
написанной Джорджем Дарвином (сыном Чарльза Дарвина) в 1882 г. В этой
книге описаны также простые и остроумные машины для фурье-анализа,
разработанные в то время.
6.26. Недиспергирующие волны. Покажите, что любая дифференцируемая
функция/(С), где t'=t-(г/v), удовлетворяет классическому волновому
уравнению,
*) См. A. d е М а г i a, D. S t е t s е г, W. G 1 е п п, Jr., Ultrashort
Light Pulse, Science 156, 1557 (June 23, 1967).
292
т. е.
дЧ(П дР V dz2 '
Покажите, что любая дифференцируемая функция g(t"), где t"=t-\-{z!v),
также удовлетворяет классическому волновому уравнению. Укажите пример ф-,
нкцнн f(t') и проверьте, что она удовлетворяет классическому волновому
уравнению.
6.27. Амплитудная модуляция и нелинейность.
а) Одним из способов амплитудной модуляции несущей волны является
пропускание тока /=/0 cos о)0t (со0 - частота несущей волны) через
сопротивление R, которое меняется с частотой модуляции, т. е. R-R0 (1-г
o,"cos сомод^). (В у1 сль-ном микрофоне сопротивление модулируется при
движении мембраны, с япмгю-щей угольный порошок.) Напряжение V=IR,
приложенное к сопротивлению, будет в этом случае модулированным по
амплитуде. Получите выражение дтя V как суперпозиции несущей (частота
со0), верхней боковой (частота со0-щчо,) и нижней боковой (частота со0-
сомод) полос.
б) Имеем два напряжения, одно из них меняется с несущей частотой, г ь-пое
- с частотой модуляции. Задача в том, что сделать с этими напряжениями
•/,- ,~1"у <cos <s>0t я Vm=Amcos сом0д^, чтобы получить модулированное по
амплкг де напряжение? Вначале предположим, что вы просто сложили эти
напряжения, подав их на одну широковещательную антенну. Получится ли у
вас что-нибудь?
в) Предположим, что после сложения двух этих напряжений мы подасм
результирующее напряжение на вход усилителя, например, между сеткой и
катодом радиолампы. Считаем, что усилитель линейный, т. е. напряжение на
выходе пропорционально напряжению на входе. Получим ли мы на выходе
ачплптудко-модулированные колебания?
г) Предположим, что выходное напряжение усилителя содержит как первую,
так и вторую степень входного напряжения:
Пусть 1?Вх=1йо+1?я, [см. часть б)]. Покажите, что благодаря нелинейно v
(квадратичному) члену Л2(1/вх)2 выходное напряжение усилителя, наряду с
дргимц членами, содержит модулированную по амплитуде несущую волну.
Д) Модулированная по амплитуде несущая волна в i) содержит компоненты с
частотами со0, <*>(,+<*>мод и а>о-сомод. Какие еще частотные компоненты
,,рчс;тст-пуют в V'BX? Нарисуйте полный частотный спектр выходного
напряжения успгыслл. Как избавиться от нежелательных частотных компонент,
используя плесовые фильтры? Положим, что сомод мало по сравнению с со".
Насколько избирательны должны быть фильтры?
6.28. Ампгитудная демодуляция и нелинейность. Предположим, чго
принимающая антенна "уловила" волну, модулированную по амплитуде:
V = V0 (cos сооО (1 +ат cos coMOJ0-
Как выделить из этого напряжения напряжение модуляции атccs co..IO В
вашем
распоряжении любые полосовые фильтры, а также нелинейный усилите.,ь,
описанный в задаче 6.27, для которого
^вых = ^1^вх ^2 (Увх)2-(Указание. Представьте модулированную по амплитуде
несущ; ю рол:.у как суперпозицию волн, затем пропустите эту суперпозицию
через нелинелпын у сили-тель и воспользуйтесь фильтрами.)
6.29. Частотная модуляция. Модулированное по частоте напряжение может
быть записано в виде
У = У0 cos [со0 (1 "Mm cos "модО П = Уо cos "*>
где
co = co0-f-co0am cos "мод^-
Одним из способов образования модулированной по частоте несущей полны
является использование емкостного микрофона. Звуковые волны воздействуют
на мембрану, которая связана с одной из пластин конденсатора. Емкость
293
конденсатора равна
С = С0 (1 -{~ст cos соМОд/).
Предположим, что эта емкость входит в LC-цепочку, у которой собственная
частота колебаний равна ю= У1/LC. Пусть напряжение на емкости равно,
например, V^EoCOswL Покажите, что, если ст меньше единицы, мы получаем
модулированное по частоте напряжение с амплитудой ат, пропорциональной
ст. Найдите коэффициент пропорциональности между ст и ат.
6.30. Фазовая модуляция (ФМ). Модулированное по фазе напряжение имеет
вид
V=V0 cos (сV + ат sin юKOftt) = cos (ю"/ + ф),
