Волны - Крауфорд Ф.
Скачать (прямая ссылка):
4) внутри этого интервала.
а) Покажите, что ф(0 может быть записана в виде
ф (()= ^ В (со) cos со (t-ta) dw, о
ПВ (со) Sin i(c°o+M) 1/zA/1 | sin [К -to) YiM]'
COq -{- CO COq - CO
б) Покажите, что если At значительно меньше любого периода, которым мы
интересуемся, то я?(со) имеет постоянное значение, равное At.
в) Покажите, что если At содержит много колебаний, т, е, если со, Л/5>>
1, то для со, достаточно близкого к соэ, коэффициент В (со) практически
определяется одним вторым членом:
sin [(ш0 -со) У>ДП , . ,
п?(ш)"--------\ |со0 - со | <<е | со0 + оэ |.
OJq - U)
г) Постройте графики ф(0 и В(а>) для случая в). Эта задача поможет кем
попять расширение спектральных линий из-за столкновений. Нсвозмущениып
атом, испускающий почти монохроматический видимый свет, имеет среднее
время высвечивания порядка 10-8 сек. Поэтому спектр Фурье этою излучения
занимает полосу частот шириной Av~108 гц. Если атомы находятся в
газоразрядной лампе, то полоса частот испускаемого света (или "ширина
линии" в оптической терминологии) оказывается порядка 109 гц, а не Ю8 гц.
Такое расширение спектрально.! линии отчасти связано с тем, что атомы
претерпевают столкновения, которые приводят к резкому изменению амплитуды
и фазы. Действие столкновения аналогично внезапному прекращению
гармонического колебания. Данный атом может провести большую часть
времени "невозбужденным". Неожиданно он возбуждается, и колебания
элементов в возбужденном атоме соответствуют колебаниям затухающего
гармонического осциллятора с временем затухания порядка 10~8 сек (мы
рассуждаем классически; более точная картина требует знания квантовой
механики). Однако в течение времени At, равного примерно 10-9 сек (в
типичном газоразрядном световом источнике), атом испытывает столкновение,
в результате которо1 з колебание обрывается случайным образом. Если
сложить свет от многих атомов, то полоса частот Av определится как
Aveze(ll А()яи 109 гц.
6.22. Фурье-анализ почти периодически повторяющегося прямоугольного
импульса. Одиночный прямоугольный импульс длительностью At имеет
непрерывный частотный спектр. Наиболее важная его часть заключена в
пределах частот ст нуля до vMaKC= Av, где Av=l/A(. (См. задачу 6.20.)-
Периодически повторяющийся прямоугольный импульс длительностью At, с
периодом повторения Т1 (1\> > At), дает дискретный частотный спектр,
состоящий из гармоник (целых кратных) частоты Vj=l/T]. Наиболее важная
часть этого спектра простирается от нуля до vMaKC=Av, где Av"sl/At. (См.
задачу 2.30.)
Теперь рассмотрим "почти периодически" повторяющийся прямоугольный
импульс длительностью At с периодом Тх. Время ТПоиг, в течение которого
происходит многократное повторение импульсов, конечно, больше периода 7\.
Если Т'повт было бесконечно, то мы имели бы периодически повторяющийся
прямоугольный нмпульс, что соответствует рассмотренному выше случаю. При
этом каждая гармоника была бы бесконечно узкой (по частоте).
а) Покажите, что для конечного значения Тпов[ спектр Фурье почти
периодического прямоугольного импульса представляется су перпознцией
почти дискретных гармоник основной частоты vx= 1/Т1. В действительности
каждая гармоника представлена узкой полосой частот шириной 6vev 1/Тпот.
Наиболее "важные" гармоники лежат между нулем н vMaKC"sl/A(. Нет
необходимости заниматься интегрированием, используйте качественные
рассуждения.
б) Нарисуйте графики, передающие форму ф(() и фурье-коэффициентов А(со)
и 5(0).
6.23. Фиксация мод лазера для получения узких импульсов видимого света.
(Сначала сделайте задачу 6.22.) Схематически лазер можно представить в
виде некоторой области длиной L, на концах которой установлены зеркала
для отражения света "туда и обратно". При соответствующих условиях, когда
область L запол-
Ф. Крауфорд 289
нена возбужденными атомами, излучение от каждого атома стимулирует
излучение других возбужденных атомов, причем фазовые соотношения между
всеми излучающими атомами таковы, что в сумме для излучения по длине
лазера имеет место конструктивная интерференция. При этом все атомы
колеблются в фазе и колебания атомов плюс излучение (имеется в виду
излучение между зеркалами) соответствуют нормальной моде всей системы в
целом. Частоты возможных нормальных мод свободных колебаний являются
гармониками основной частоты vx. Период Тх - = 1/Vj определяет время,
необходимое для прохождения света туда и обратно между зеркалами, т. е.
T1=2L/(c/rt), где п-показатель преломления. Тогда v1=l/7'J н возможные
моды имеют частоты v=mvb где от= 1, 2, 3 н т. д. Далее, если бы не было
зеркал, то возбужденные атомы независимо испускали бы свое обычное
излучение (свет). Для лазера, наполненного газовой смесью гелий - неон,
это излучение соответствует красному свету с длиной волны 6328 А. Время
затухания для отдельного атома в этом случае составляет примерно 10-9
сек, что дает полосу частот Дм порядка 109 гц. Однако если возбуждена
нормальная мода всей системы (атомы плюс излучение, т. е. присутствуют
