Сборник задач по классической механике - Коткин Г.Л.
ISBN 5-93972-058-7
Скачать (прямая ссылка):
х. Подробное исследование системы (1) и (2) можно найти в задаче 8.10.
Область резонансного взаимодействия: |2wi - uiг| < (ЗЪео^1.
Сильное резонансное взаимодействие осцилляторов имеет место, вообще
говоря, при условиях nuj\ = muj2, где пят - целые числа. Однако ширины
областей частот, в которых осуществляются эти резонансы, при не очень
малых пят чрезвычайно малы (см. [1], §29). Поэтому их влиянием на
движение осцилляторов можно пренебречь при не слишком малых (хотя и
достаточно малых для того, чтобы
Рис. 179
можно было использовать теорию адиабатических инвариантов).
13.21. Пусть частица, движущаяся в плоскости ху под малым углом к оси
у (|х| |у|), отражается от оси х и от кривой уо(х) (рис. 179).
Если считать закон движения в направлении оси х известным, то можно
исследовать движение в направлении оси у, рассматривая x(t) как медленно
изменяющийся параметр. Сохраняется адиабатический инвариант § pvdy = =
2\ру\уо(х) = 2тг1, и это равенство определяет зависимость ру(х).
Для определения же x(t) можно / использовать закон сохранения энергии
гп2х2 + Ру(х) = 2 тпЕ. Минималь-
ное расстояние xmm определяется условием р2(хш in) = 2 mE. Подставляя
Уо{х) = х tg а, 2тгI = 2л/2mEl tg a cos ро получаем xmin = I cos cpo.
Решение задачи методом отражений очевидно из рис. 180. Этот метод дает
точное решение, применимое при любых углах а и ро, но не может быть
обобщен Рис. 180 на случаи, когда уо{х) не является прямой.
13.22. tg axm = tg р, T =----------------Щ==
аг; л/cos 2(р
13.23]
§13. Адиабатические инварианты
337
13.23. а) Задача о движении частицы в магнитном поле при указанном
выборе векторного потенциала сводится к задаче о движении гармонического
осциллятора (см. задачу 10.7). Адиабатический инвариант
I =
Е - р1/2т
U!
ос -- ос тга Ж. Ж
где а =
cmv±
радиус орбиты частицы (см. [2], § 21).
еЖ
Соотношение I ос 7Га2Ж допускает простую интерпретацию: радиус орбиты
изменяется так, что поток магнитного поля через площадку, охватываемую
ею, остается постоянным. Расстояние центра орбиты от плоскости yz, равное
хо = -^ с ростом Ж уменьшается.
еЖ
Возникновение дрейфа орбит связано с появлением электрического поля ё =
= (0j -рхЖ, oj при изменении магнитного поля (ср. [2],
§22).
Векторы электрического поля S и скорости v ip для различных положений
орбиты частицы показаны на рис. 181.
б) Функция Гамильтона в цилиндрических координатах
h = eL + eL
2 то 2 то
1
Pv
еЖ 2 2с
2 шг2
Интегралами движения являются pz и pv.
Адиабатический инвариант для радиального движения
Рис. 181
7т!г =
dr
после замены г
Е шах
Ж-1!2^ принимает вид
d( = тxlr(pv,
2mE±_ w с_
Ж (2 V 1р 2с
Интересно, что 1Г фактически не зависит от при > 0. Действительно, пред-
&Р<р
ставляет собой изменение угла Atp за время одного радиального колебания,
а при > 0 начало координат лежит вне траектории (см. рис. 98,6), и потому
А(р = 0.
338
Ответы и решения
[13.24
Поэтому Е±_ j Ж = const, т. е. энергия поперечного движения изменяется
так же, как в пункте а). Расстояние центра орбиты от начала координат
Ппах 4" Тmin Стах 4" Cmin 1
го = о = F=- ^ ~1=-
2 2\[Ж л/Ж
С ростом Ж центр орбиты приближается к началу координат (рис. 182).
При изменении Ж появляется электрическое
поле gv = -^, sr = sz = o7
силовые линии которого представляют собой замкнутые окружности.
В реальных условиях однородное магнитное Рис. 182 поле может
существовать только в ограниченной
области пространства. Электрическое поле, появляющееся при изменении
магнитного, очень сильно зависит от формы этой области и условий на ее
границе (см. [2], §21). Например, поле, рассмотренное в случае а),
осуществляется вблизи проводящей плоскости с током, в случае б) - в
соленоиде1.
Сильная зависимость характера движения частицы от слабого поля 8 даже в
случае предельно малых Ж объясняется наличием вырождения (при Ж = const
периоды движения по двум координатам х, у или г, ip совпадают).
Заметим, что величина Е±/Ж оказалась адиабатическим инвариантом в обоих
случаях. Можно показать, что этот результат не зависит от выбора А (см.
[2], §21; [8], §25).
13.24. Выбрав векторный потенциал в виде
А^ = г-Ж(1)7 Ar = Az= 0, (1)
получаем адиабатические инварианты
Т -Е* т -
h - ш 5 1<р - Р<р,
Сшах
Ir = \ J ^Ce-pl-m^^-=Ir(pv,C), (2)
Cmin
'Изменения электрического поля, связанного с изменением выбора А, не было
бы, если бы одновременно был изменен скалярный потенциал на величину Жху
(градиентное преобразование).
13.25]
§13. Адиабатические инварианты
339
где
2mEj_ + еЖр^! с
\Jlo2 + (еЖ/тс)2
Таким образом,
2 тс)
еЖ\2
(3)
Векторный потенциал (1) задает магнитное поле, симметричное относительно
оси z, проходящей через центр осциллятора.
При другом выборе А
получаем фактически другую физическую задачу. Функции Лагранжа в этих
двух задачах отличаются на
т. е. отличие их, если отбросить в (5) несущественную полную производную
по времени, очень мало.
В предыдущей задаче, где движение было вырождено, именно появление этой
