Сборник задач по классической механике - Коткин Г.Л.
ISBN 5-93972-058-7
Скачать (прямая ссылка):
Поясним полученный ответ. На колечко А действует сила F, определяемая
натяжением нити Т. При малых углах отклонения маятника ср сила
1 2
Fx = mgip, Fy = -rngcp
328
Ответы и решения
[13.2
(ось у направлена вертикально вверх, ось х в плоскости колебаний). Так
как длина нити АВ = I изменяется медленно, можно усреднить силу по
периоду колебаний ip = ро cos uit, ui = \fgjl, считая длину нити
постоянной. Получаем
1 2
Fx = О,
При смещении колечка на dy = dl энергия убывает на Fvdy = jmgip^dl. Так
как 1
vl
t
Е = ^mglpQ, то
dE = dl.
A i
Отсюда E2l = const.
13.2. После того, как частица столкнется с обеими стенками, ее скорость v
изменяется на 21. Условие медленности означает, что \21\ Си.
Выберем такое время At, что
Щ < At < 4-.
1/1
Рис. 175
Такое At существует в силу условия медленности. За это время произойдет
vAt/{21) пар столкновений со стенками, и скорость изменится на
Av = -vi^Y-
Интегрируя, получаем vl = const или El2 = const.
Интересно проследить подробнее как изменяется произведение vl. Это легко
сделать, воспользовавшись графиками /(7) и v(t) (рис. 175 а,б). График I
= vl представлен на рис. 175, в. Величина vl колеблется около
приблизительно постоянного значения (vl), причем амплитуда колебании
имеет
относительную величину
А/
I
-
V '
Отклонение (vl) от постоянной имеет высший порядок малости
13.7]
§13. Адиабатические инварианты
329
13.3. Если бы g(t) = g - a(t) было постоянным, то закон движения шарика
был бы
Изменение g(t) на Ад приводит к изменению потенциальной энергии
Изменение полной энергии A(mgh) происходит именно из-за изме-
В предложенном выводе мы следуем, по существу, тем же путем, который
можно применить в общем случае для доказательства сохранения §pdq (см.
[1], §49).
Разумеется в этой задаче (как и в других предыдущих) можно было сразу же
воспользоваться результатами общей теории.
Если плита медленно поднимается (но g(t) = const), то h = const. Это
очевидно, если скорость плиты постоянна (достаточно перейти в систему
отсчета, связанную с плитой). Если же скорость изменяется, то результат,
согласно общей теории зависящий лишь от высоты подъема плиты, измениться
не может. При этом предполагается, что относительное изменение скорости
за время д/2h/g мало, плита поднимается плавно.
z(t) = h - |gt2 (при - y/2h/g < t < \j2hjg).
Г)
на mzAg, а за период - на m(z)Ag, где (z) = ^h среднее по времени
значение z.
2
нения потенциальной энергии. Поэтому mAg-h = A(mgh) или gAh + + \hAg = 0,
откуда h ос д~г^3.
13.4. а) Е
/ ТУ I у 2т 2
yy_L д1/гаГ
О
2п/(п+2)
г) Е
13.5. h ос (sin а)2/3.
13.6. а ос (sin а)_1/4.
330 Ответы и решения [13.8
13.8. Обозначим через х и X координаты частиц т и М, отсчитываемые от
точки О. Движение легкой частицы можно приближенно рассматривать как
движение между двумя стенками, одна из которых перемещается. Поскольку
выполняется условие
1*1 " 1*1, (1) сохраняется усредненное по периоду произведение \х\Х = С'
(см. задачу 13.2). Исключая х из закона сохранения энергии
шА2 , МХ _
находим, что влияние легкой частицы на движение тяжелой равносильно
появлению потенциальной энергии U(X) = Уравнение A* +U(X) =
= Е приводит к закону движения X = \ -b -rr(t - т)2. Постоянные
у Zh/ А/
Е, С и т могут быть определены по начальным значениям X, X и х (не
зависят от ж(0)). После того как условие (1) будет нарушено, предлагаемый
способ решения задачи будет неприменим.
Подобное приближение (называемое адиабатическим) находит широкое
применение, например, в теории молекул.
13.9. Обозначим координаты тяжелых частиц X\t2, а легкой х. При Хг < х <
Х2 потенциальная энергия
U = (х - Xi)f + (Х2 - x)f = (Х2 - Xx)f.
Поэтому легкая частица свободно движется между тяжелыми, и
\х\(Х2 - Xi) = С = const
(см. предыдущую задачу). С учетом этого из закона сохранения энергии для
относительного движения тяжелых частиц (X = Х2 - Х±) получаем
XI | тС ^ v ~4Х +^+/Х = К
Разлагая [УЭфф(Х) = ^ вблизи минимума Хо = (тС2//)1/3,
находим частоту малых колебаний "иона"
щ2 =
2U"(X0) 6/
М МХо
13.10] § 13. Адиабатические инварианты
13.10. В уравнениях для Р и Q
331
Q =ш + sin2Q, P=-P^cos2Q
2ш
разложим частоту в ряд по t. Ограничиваясь поправками первого порядка,
получим
Q = (LUot+ip) + ^LU0t2 + -^^ j sin2Q(t)dt,
(1)
P = P0(l f cos2Qdi), (2)
где Wo и Шо - значения частоты и ее производной в момент времени to = 0,
причем
й>о = ?2^о ие<1.
б)
Фаза Q и амплитуда А
2 Р
воз-
пш>0
мущенного движения относительно мало отличаются от своих невозмущенных
зна-
2Рг
Рис. 176
чений Qo = Lo0t + р и А0 = у даже
для промежутков времени, много больших периода колебаний 2тг/и>) (рис.
176).
Так, для моментов времени t ~ 1/ешо второй член в (1) порядка единицы, а
третий - порядка е, и поэтому
Р = Ро.
Но такое изменение фазы приведет к тому, что в переменных р1 q
возмущенное движение
q{t) = А0 cos + ip + |cj0i2)
будет существенно отличаться от невозмущенного
q0(t) = А0 cos(co0t+Lp),
332
