Сборник задач по классической механике - Коткин Г.Л.
ISBN 5-93972-058-7
Скачать (прямая ссылка):
добавки приводило к полному изменению направления и скорости дрейфа
орбиты. В нашем же случае движение осциллятора при Ж = const
невырожденное, и добавка может быть отброшена (ср. с задачей 13.19).
Поэтому соотношения (3) справедливы и при другом выборе А. При
прохождении области вырождения {Ж = 0) соотношения (3) сохраняются только
для аксиально-симметричного поля (1). Поведение же осциллятора, например,
в поле (4) при прохождении Ж через нуль требует дополнительного
исследования.
13.25. а) С помощью канонического преобразования можно привести
функцию Гамильтона к сумме двух независимых осцилляторов (для X, Y; см.
задачу 11.9). Адиабатическими инвариантами являются отношения энергии
каждого из этих осцилляторов к его частоте.
Напомним, что колебания каждого из них представляют собой движение по
эллипсу (см. задачу 6.36). Выраженные, например, через амплитуду "/,
колебаний вдоль оси х, адиабатические инварианты равны
AX = AZ= 0, Ау=хЖ(?)
(4)
340
Ответы и решения
[13.27
При изменении параметров системы к новой функции Гамильтона добавляется
также частная производная производящей функции по времени, равная1
\{muj2XY + РхРу/тпшг). Эта добавка мала (А <С П&), и ее можно не
учитывать, если только собственные частоты не совпадают (ср. с задачей
13.19). Случай вырождения при ио\ = Ш2 и магнитном поле, проходящем через
нуль, требует отдельного рассмотрения.
При другом выборе векторного потенциала, приводящего к тому же
магнитному полю, но другому электрическому, § = д адиабатиче-
с at
ские инварианты оказываются прежними (опять за исключением случая (с^1 =
002, = 0)*
Если loi =iU2, то возможен и другой выбор адиабатических инвариантов (см.
предыдущую задачу).
б) Пусть для определенности ио\ > 002- Движение происходит по окруж-/
0>1
ности радиуса а, / с частотой о; "о, центр же окружности перемещается
у ZLOЖ
по эллипсу с полуосями, параллельными осям х и у и равными
с частотой loiuo2/<~o^j.
в) Колебание будет происходить почти вдоль оси у; амплитуда его
увеличится в лJоо\/и)2 раз (ср. с задачей 13.19).
13.27. а) Движение частицы в плоскости ху происходит под действием
медленно изменяющегося (из-за смещения вдоль оси z) магнитного
'Вычисление частной производной производящей функции можно упростить,
используя следующие соображения.
При переходе от момента t к t + St необходимо совершить дополнительно
каноническое преобразование, соответствующее переходу от А к А + <5А.
Такое преобразование задается производящей функцией Ф(Х, Y, Р'х, Ру) =
ХР'х + YPy + S\(mx2XY + P'XP'Y / тх2)
(см. задачу 11.17). Поэтому I = \(rnx2XY + РхРу /^1x2). ut 15Х-> 0
ьл/^ж
и
\/ oJi(cof + (0%)
\Joo\ + оо\
поля. При этом сохраняется адиабатический инвариант 1± = Е± (см. задачу
13.23). Из закона сохранения энергии имеем
13.29]
§ 13. Адиабатические инварианты
341
Частица движется в направлении оси z так, как двигалась бы в потенциально
§П)
еж (z)
альном поле U(z) = 1± тс . Период колебаний (ср. с задачей 2 6 из [1],
Т =
2ira
v\/A sin2 а - cos2 а
где а - угол между скоростью частицы v и осью z в начале координат.
Частицы, для которых ctg2 а > А, не удерживаются в ловушке. Условие
применимости теории адиабатических инвариантов заключается в том, чтобы
изменение магнитного поля за один оборот частицы было мало. Это дает
mc\vz <С аеЖо.
Примером магнитной ловушки могут служить радиационные пояса Земли
(подробнее о ловушках см. [29]).
б) Т = 2ira/vsma.
13.28. а) (ЛEj_ - Ez)a2 = const, Е±/Жо = const, Е = Ej_ + Ez\
6) E^j Жо = const, EZ\J Ж,э j a = const.
13.29. Пренебрегая в функции Гамильтона
Н
Рг 2 то
Ре
Ре.
еЖр^ еЖ2г2 sin2 в
2mr2 2mr2 sin2 в 2cm
8 me
последним членом, квадратичным по Ж, можем разделить переменные в
уравнении Гамильтона-Якоби.
Адиабатические инварианты имеют вид
02
Ip = Pip, 1в = ^ j \
(3-^rde = Ie(pv,f3),
sin в
!r = h
2m
E-
еЖ'Рр,
ДДД - Щг>
-4 dr = I,
2 me
Таким образом, при медленном изменении Ж величины
п 2 rip
Рр, р = Ре4'-гтг
и Е -
еЖр1р 2 тс
остаются постоянными.
342
13.30.
Рх
2т
Ответы и решения
g + 2muy = *,
(т2и>2х2 -pl)y + хрхру = А,
[13.30
(ш со х - рх)ру - 2тихрху = ^{Е2, А}.
13.31. а) w = Arctg
Р
I =
Р
mxq
' 2 тх 2 '
Эти переменные удобны, например, для построения теории возмущений
(см. задачу 13.9).
б) Пусть вначале частица движется вправо от точки х = 0, причем мы
выбираем 5 так, что 5 = 0 при х = 0. Тогда
где I =
( (l\
S = \р\ dx = irl - па I - I - Fx
о L
| J \р\ dx = аЕ3/2 -
3/2
а ЗтtF ' Хп
При движении влево
\р\ = \/2т(Е - xF).
г
к 0 х"
и т. д. При п-м колебании
5 = (2п - 1)1 =F 7га
3/2
2/3
Fx
3/2
Рис. 183
(верхний знак отвечает движению вправо, нижний - влево; рис. 183).
Функция S(x, I) служит производящей функцией для перехода к новым
каноническим переменным действие-угол (см. [1], § 49). Новые переменные
связаны со старыми следующим образом:
1 I
ir2F
{тг2-[(2п-1)тг-и;]2}
Р=2а\а
2/3
[(2 п - 1) 7Г - ш],
13.32]
§13. Адиабатические инварианты
