Сборник задач по классической механике - Коткин Г.Л.
ISBN 5-93972-058-7
Скачать (прямая ссылка):
Ответы и решения
[13.12
так что разница
q{t) - qo(t) ~ qo{t)-
При попытке строить теорию возмущений для переменных qn р мы получим для
поправки первого порядка qi (I) уравнение
qi + WqQi = -2cJo^o^^-o cos(cjo^ 4- <p)
с растущей во времени резонансной силой. Поэтому полученное в такой
теории решение справедливо лишь для малых промежутков времени порядка
нескольких периодов колебаний
LO0 ^ ewo
13.12. Преобразуем функцию Гамильтона системы
Н(х, p,t) = ^ + - xF(t) = E(t) (1)
к виду
ти}2 ^-^У + ё- /1~2=Ш
ти> J 2muj
Отсюда видно, что фазовая траектория представляет собой эллипс, смещенный
вдоль оси х на расстояние F/rnu2, с полуосями
а = \/^Я + "^Т' Ь= Е2тЕ+^. у rnto m to у ui
Адиабатический инвариант с точностью до множителя Т- совпадает с пло-
Z7T
щадью этого эллипса
г 1 E+(F2/2mco2)
I=2ab= й ' (2)
Здесь
Е ¦
2 тш2
имеет смысл энергии колебаний вблизи смещенного положения равновесия (ср.
с задачей 5.16). Подставляя в (2) значение Е из (1), можем представить
13.15]
§13. Адиабатические инварианты
333
результат в виде
j _ т_
~ 2си
х + iuj I х +
тш
ТП 1 / iuj(t-T*
~ 2 шт
F(t)cIt + ешг [х(0) + icvx(0)] - г
m
(Здесь для величины х + ги>х использованы соотношения (22.9), (22.10) из
[1]). Интегрируя по частям, получим
±(0)
I(t) = 1(0) + [ F(t) shiLot dt-
cvz J
ж(0) -
m
mui
F(t) cos cot dt
1
F(t)ewt dt
2 mix
о о
Таким образом, если сила изменяется медленно, то I(t) осциллирует вблизи
/(0). Если F(t) -> const при t -> оо, то полное изменение адиабатического
инварианта /(оо) - 1(0) может быть очень малым (см. задачу 5.18).
13.13. PV5/3 = const.
2 / J^ J^ \
13.14. а) Е = Е- (-j + ), где а, Ь, с - длины ребер парал-
^m V а Ъ с /
лелепипеда, a Ik = const.
б) Сохраняются абсолютные величины проекции скорости на каждое из ребер.
13.15. Переменные разделяются в сферических координатах. Момент импульса
М сохраняется строго (Mz является, кроме того, адиабатическим
инвариантом, соответствующим углу ср). Адиабатический инвариант для
радиального движения
R
1Г = \ т 7Г
/2гпЕ - dr.
(1)
Зависимость E(R) можно выяснить, не вычисляя интеграла (1). Замена г = Rx
дает
Jr = b
т 7Г
2mER? -^dx = Ir(ER2, М),
(2)
334
Ответы и решения
[13.16
откуда ЕЕ2 = const. Поэтому для угла падения а
sin а
М
R л/2 rnER
= const.
13.16. a) Е ос 72 ";6)i?oc7 1.
13.17. Приравнивая значения адиабатического инварианта до и после
включения поля
Е -
М2
2 тЕ
- U (г) dr =
-U -SUdr
получаем
Гщаз
SE = (SU) = | j
5U dr
2l(f _ М т V 2тг2
- и
13.18. Е = /А
l>tl> (обозначения задачи 6.5 а). Траектория заполняет прямоугольник \Qi
Условия применимости теории адиабатических инвариантов:
Pi\ (г = 1,2).
Вне области вырождения эти условия сводятся к таким же условиям,
наложенным на LVi(t). В области вырождения - ш2\ ~ а) второе условие
оказывается более жестким и дает cjjJ <С а (область вырождения проходится
за время, гораздо большее периода биений).
13.19. В отсутствие связи аху система распадается на два независимых
осциллятора с координатами х и у. Соответствующие адиабатические
Ех
Еу
инварианты 1Х = 1у = где Ех и Еу - энергии этих осцилляторов.
При учете связи система состоит из двух независимых осцилляторов с
координатами Q\ и Q2. Если частота изменяется достаточно медленно, то
сохраняются
т =Ег 1 Hi'
r _ Е2 2 _ П2-
13.20]
§13. Адиабатические инварианты
335
Вне области вырождения нормальные колебания сильно локализованы, а именно
при uji < и>2 оказывается Qi = х, Q2 = у, а при uji > Ш2 Q1 = +у, Q2 = -
х. Таким образом, при < и>2 оказывается 1Х = В,
Iy = I2, при UJ2 < наоборот, Ix = I2, Iy = h (рис. 177).
Проиллюстрируем это следующим примером. Два маятника, длина одного из
которых может медленно изменяться, связаны пружинкой малой жесткости
(рис. 178). При значительной разнице длин маятников I и L нормальные
колебания почти совпадают с колебаниями одного или другого маятника.
Пусть вначале маятник АВ колеблется с амплитудой ро, а маятник CD - с
очень малой. При уменьшении L амплитуда колебаний маятника CD остается
малой, пока длина его не станет почти равна I. При L и I амплитуда его
возрастает (а при I = L оба маятника будут колебаться с амплитудами,
равными в противофазе). С дальнейшим убыванием L почти V2
вся энергия перейдет к маятнику CD, и амплитуда его станет равной р\ =
П3/4
jrj , как для отдельного маятника.
При сравнительно быстром прохождении области вырождения а
подобной перекачки энергии между осцилляторами не происходит. Если, кроме
того, <С u>i, u>i <С ^1^1, т0 сохраняются 1Х и 1у.
13.20. Из уравнений движения
х + и)\х + 2(3ху = 0, (1)
у + ш1у + (Зх2 = Q, (2)
легко обнаружить, что связь осцилляторов приводит к большой
передаче
энергии при 2cji ss 1x2-
336
Ответы и решения
[13.21
Пусть х = a(t) cos(uiit + ip), у = b(t) + •ф). Если а Ъ, то
член (Зх2 = За2 + |/3a2 cos(2o;i + 2<р) в (2) играет роль вынуждающей
силы, приводящей к резонансному росту у. Если же а <С Ъ, то член 2(Зху =
= 2(ЗЬх cosiujzt+'ip) в (1) приводит к параметрической раскачке колебаний
