Калибровочные поля - Коноплева Н.П.
Скачать (прямая ссылка):
переписать через ковариантные производные: 6/.gtlv = = Ev;n +
Группы Ли, образованные автоморфизмами (8.2) и сохраняющие
метрический тензор g^v (в смысле б= 0), называют группами движения
риманова пространства, а соответствующий вектор Iх - вектором
Киллинга. В пространстве, допускающем группу движения, зная
компоненты метрического тензора в одной точке, можно путем увлечения
найти gMV во всех точках. В плоском пространстве группы движения
становятся обычными группами пространственно-временной симметрии.
Например, в пространстве -времени Минковского группой движения
является группа Пуанкаре, в пространстве-времени постоянной кривизны
¦- группа де Сит- тера О (4,1), из которой группа Пуанкаре получается в
предельном случае R оо (R - радиус кривизны V4).
Калибровочное векторное поле и поле антисимметричного тензора
второго ранга. Производные Ли определяются для величин произвольной
размерности, как целой, так и полуцелой. Фактически это значит, что
произвольное многообразие У4 расслаивается с помощью различных
представлений полной линейной группы GL(4). Иными словами, над каждой
точкой Г4 вводится слой, размерность которого определяется размерностью
нужного нам представления. Поскольку производные Ли всегда содержат
произвольные функции
83
(~Дх) и их производные, в качестве калибровочных можно рассматривать
любые поля, имеющие лишь пространственно-временные индексы и не
связанные с калибровочными группами типа внутренних симметрий. Для
примера рассмотрим векторное поле А(1. Его производная Ли имеет вид:
бьАц = %хдхАц + Лхдц|т;
б LA" = ЪхдхА" - Ахд%1^.
Тождества Нетер, используя (4.11), можно записать в виде (61/бЛл)
(Зт Лц-Зц Ах) = Зц [8L/8A J Ах.
Если свернуть это выражение с 8Ы8АХ, получим Ах (8L/8AX)
Зц (6L/6AJ ={81/8Ах)д[хАм б?/бЛц = 0.
Поэтому либо выполняется закон сохранения Зи
(б1/бАц) = О,
либо векторное поле удовлетворяет условию
Ах (8L/8A т) = 0.
Из- тождеств Нетер при включении источников получаем
№х" = 2(д^")Ах, (8.4)
где FXI1 = дхА^ - д^Ах. Отсюда следует, что (AXJX) = 0. Поэтому либо
сохраняется, т. е. Зц/11 = 0, либо взаимодействие отсутствует {AXJX - 0).
Свертывая (8.4) с *FXK, получаем
Jx {Fap-F"p) = 8(е^"Р AxFafi).
Антисимметричное тензорное поле второго ранга /MV. Его вариация Ли
задается формулой
= HTat/,v т~ ~\~ fiixd vlx-
Тождества Нетер имеют вид
х/2 (6L/6/nv) (3xAiv - Зц/tv - з v/цт) = 3U {8L/8fllv)fxv. (8.5)
Если 3[т/ ц,] Ф 0 и L = VJnv/^, то 8L/8fllv = 1/2/(iV и тождества
(8.5) принимают вид
V2/^v (Зт/nv - Зц/tv - 3 v/цт) = (Зц/^)/Xv ИЛИ
Vs/^^v = Зц (/^/TV),
откуда следует "закон сохранения"
Зц (P/TV - V46? /"Р/ар) = 0.
Величина, стоящая в скобках, в электродинамике играет роль тензора
энергии - импульса электромагнитного поля. Здесь закон сохранения этого
тензора получен как следствие тождеств Нетер.
Используя тождество v = V4 6* (*fXyhv), где *f"v-
= 1/2E^vxXfx%, E^vxX - дискриминантный тензор, и антисимметрию fpv,
можно (8.5) переписать так:
(8.6)
(8.7)
(8.8)
Таким образом, из любого уравнения поля для fliv сильный закон
сохранения и дополнительные условия получаются простым
дифференцированием.^ Если 6L/S/^V = /^v, то из (8.8) следует
произвольно, если *fXafxa = 0.
Итак, выполнение условий *fXafxa Ф 0 и д[тД"] = 0 приво
дит к уравнениям Максвелла
а также, в качестве следствия (8.7) и (8.10), к уравнениям
Заметим, что уравнения (8.11) как следствие тождеств Нетер дц (бЕ/б/^v) = 0
можно получить и при отличном от (8.4) законе преобразования а именно
при
Такой вид преобразований/MV был использован в работе [21], где вводились
гипотетические частицы нотофы (фотоны "наоборот") как кванты
антисимметричного тензорного поля второго ранга.
Калибровочное поле симметричного тензора второго ранга. Если в Е4
заданы поле симметричного невырожденного тензора второго ранга/ijiv и
автоморфизм Vk, индуцируемый непрерывными преобразованиями
координат вида (8.2), то условия типа (5.3)-(5.5) определяют вид
лагранжиана и уравнений поля, инвариантных относительно преобразований
h^v (8.3), порожденных автоморфизмом И4 [5]. Инвариантный лагранжиан,
не содержащий производных от h^, имеет вид L = MY-h\ h = det|ft,j,v|.
Лагранжиан, зависящий от h^v, его первых и вторых производных, сводится
к
(8.9)
Следовательно.
0, если *[Ха[хофО;
dj^v = 0,
(8.10)
?^v = 0.
(8.11)
(8.12)
где R - аналог скалярной кривизны риманова пространства (в том смысле,
что он составлен из величин /гй%1 и их производных точно так же, как
скалярная кривизна составляется из метрического тензора и его
производных). Поднятия индексов здесь в обычном смысле не происходит,
так как для свертывания индексов используется обратная матрица h^,
удовлетворяющая условию h^ahav = 6v. Введение метрики для построения
инвариантного лагранжиана не требуется. Условия инвариантности типа
(5.3)-(5.5) автоматически приводят также к тому, что производные от k^v
