Калибровочные поля - Коноплева Н.П.
Скачать (прямая ссылка):
задать нужные начальные условия в задаче Коши произвольным образом (а в
квантовой теории- непротиворечиво задать одновременные'
перестановочные соотношения). Достаточность очевидна. Оказывается, что:
(6.3)
dJ2v - т2ЛЙ = 0.
(6-4)
(6.5)
(6.6)
+ 46obC(J брд^р Л* А°к А* - 0.
(6.7)
72
a) Pabcd связаны с коэффициентами ааЬс соотношениями 8j5abcd +
+ атсаатс1Ъ + ^mcb^mda = 0; б) Коэффициенты ааЬс ПОЛНОСТЬЮ
антисимметричны и удовлетворяют структурному соотношению,
совпадающему с тождеством Якоби для структурных констант алгебр Ли: [aa,
аь] = - ааЬсас, где обозначены матрицы (аа)ьс =.ааъс'> в) УаЪс полностью
антисимметричны, в результате чего члены с уаЬс вообще выпадают из
уравнений движения; г) б abed = о, т. е. члены, не сохраняющие .четность,
несовместны с условием Лоренца. Таким образом, при взаимодействии
векторных полей с определенным спином сохраняется четность; д) массы ог-
раничены условием [aa, rti2] = 0. В результате лагранжиан (6.3) принимает
вид
^ = - 1и ПчПч - % (m2)atAa< (6.8)
где F^v = д^Ау-дуА? + ааЪсА^Ау. Получился лагранжиан так называемого
массивного калибровочного поля. Он инвариантен относительно
преобразований калибровочной группы Gr, алгебра которой задается
матрицами ааЬс (в прежних обозначениях fabc):
< = А" + ааЬсеьА^, (6.9)
где еь = const. Вектор-потенциал калибровочного поля Л? здесь
соответствует мультиплетам векторных полей Лм, образующим не-
приводимые представления Gr. В рамках одного мультиплета, компоненты
которого преобразуются только друг через друга, массы векторных полей
одинаковы. Поэтому т2 можно понимать просто как массу калибровочного
поля.
При выполнении условий (5.28) под действием локальной калибровочной
группы, параметры преобразований которой зависят от пространственно-
временных координат точки х, лагранжиан (6.8) сдвигается на полную
дивергенцию. Но интеграл действия, несмотря на это, остается
инвариантным относительно G^,., если граничные условия таковы, что
поверхностный интеграл, в который перейдет интеграл от дивергенции,
обращается в нуль.
I Аналогичным образом можно найти лагранжиан системы взаимо-
действующих полей со спинами 1/2, 0,1 [6]. При этом поля спина 1/2 и 0
также распадаются на мультиплеты, преобразующиеся по неприводимым
представлениям калибровочной группы, но представлениям уже не
регулярным.
§ 7. Изопериметрические задачи в теории с
локальной симметрией
Обобщение второй теоремы Нетер на изопериметрические задачи. Как
мы видели в предыдущем параграфе, выбор дополнительных условий на
полевые переменные имеет глубокий физический смысл. При этом
очень важной оказывается связь между свойствами сим
метрии лагранжиана и видом дополнительных условий. Такая связь возникает
в тех случаях, когда часть уравнения движения совпадает с уравнением
Эйлера для интеграла действия, инвариантного относительно бесконечной
группы G^, причем уравнения движения допускают группу инвариантности
Gr, получающуюся из бесконечной группы GxT при еа(х) = const. Такие
уравнения движения можно рассматривать как уравнения Эйлера для
интеграла действия, инвариантного относительно бесконечной группы, но в
задаче на условный экстремум (типа изопериметрических задач). В данном
параграфе обсуждаются свойства симметрии в задачах на условный
экстремум, соответствующих физическим системам со связями. Как известно,
изопериметрические задачи представляют собой задачи на отыскание
условного экстремума некоторого функционала в том случае, когда
дополнительным условием при варьировании является сохранение другого
функционала 5Х от тех же переменных, т. е. когда дополнительные условия
интегральны. Поскольку нас интересуют законы сохранения и
дополнительные условия, будем рассматривать функционалы как 5, так и Slt
инвариантные относительно конечных или бесконечных групп Ли. В этих
случаях имеется аналог теорем Нетер.
Рассмотрим обобщение второй теоремы Нетер на изопериметрические
вариационные задачи.
Третья теорема. Пусть интеграл действия S инвариантен относительно
бесконечной группы G^r и фиксированный функционал Sx инвариантен
относительно конечной группы Gr, являющейся подгруппой G^. Тогда
возникает г дифференциальных дополнительных условий на полевые
переменные, вытекающих из тождеств Нетер, связывающих лагранжевы
производные функционала и производные от них.
Вследствие справедливости третьей теоремы справедлива следующая
теорема.
Четвертая теорема. Пусть интеграл действия S = J Ldv = = J L (х, и, и') dv
инвариантен относительно бесконечной группы G^r, преобразования
которой содержат (для простоты) лишь первые производные от
параметрических функций, и пусть Sx = f L±dv = = const инвариантен
относительно группы Gr, получаемой из G^r при га (х) = const. Тогда на
своих экстремалях вспомогательный функционал 52 = S + A,Sx = J (L + kLx)
dv = J L%dv инвариантен относительно GмГ. При этом L2 сдвигается под
действием Gxr на полную дивергенцию, a Gr оставляет L2 без изменения.
