Калибровочные поля - Коноплева Н.П.
Скачать (прямая ссылка):
преобразования образуют группу, следует из необходимости существования
только г зависимостей и, следовательно, только г произвольных функций,
определяющих преобразования G^T-
Особый интерес представляет случай, когда функции и не являются
решениями уравнений Эйлера G^-инвариантного лагранжиана и лагранжевы
производные отличны от нуля. Тогда, как говорилось выше, вторая теорема
Нетер приводит к дополнительным условиям на источники (законам
сохранения для токов). Обращение второй теоремы Нетер в таком случае
позволяет определить форму
70
инвариантного лагранжиана по уравнениям поля и дополнительным
условиям, вытекающим их них.
Восстановление лагранжиана по уравнениям поля и дополни-
тельным условиям, вытекающим из них. Ограничение числа степеней
свободы взаимодействующего поля с помощью специального выбора
дополнительных условий может быть связано с определенными физическими
принципами. Например, калибровочные условия
(5.28) для векторных полей означают, что эти поля могут переносить при
взаимодействии только спин 1, тогда как в отсутствие дополнительных
условий векторное поле может переносить два спина: О и 1 [6]. Оказывается,
что если наложить на векторные поля дополнительные условия (5.28), т. е.
потребовать, чтобы они обладали определенным спином и этот спин
равнялся бы единице, то муль- типлеты взаимодействующих векторных
полей образуют регулярные представления различных полупростых алгебр
Ли. Спин - это одно из квантовых чисел, классифицирующих
представления группы Пуанкаре, которая является группой движения
пространства - времени Минковского. Таким образом, здесь мы имеем при-
мер ситуации, когда требование определенных пространственно- временных
свойств векторного поля приводит к ограничениям на возможный вид
взаимодействия между полями, т. е. определяет внутреннюю симметрию
взаимодействий. Таким образом, устанавливается связь между законами
сохранения, соответствующими, внутренним симметриям (сохранение числа
барионов, странности, изотопического спина, а также электрического заряда)
и пространственно-временным свойством векторных полей обладать
определенным спином. Так, существование истинно нейтральных полей со
спином 1 (например, фотона или со-мезона) влечет за собой инвариантности,
соответствующие сохранению аддитивных квантовых чисел (электрического
заряда или странности). Существование заряженных полей со спином 1
(например, р-мезона) приводит к инвариантностям типа изотопической и т.
д. Обратное тоже верно: при наличии того или иного закона сохранения есть
место для частицы, обусловливающей его возникновение, и можно ставить
вопрос о поиске такой частицы.
В рамках лагранжева подхода, изложенного в § 5, связь между
дополнительными условиями и группой инвариантности лагранжиана
возникает благодаря справедливости второй обратной теоремы Нетер, когда
наложенные дополнительные условия таковы, что их можно получить как
следствие тождественных соотношений между уравнениями движения и
производными от них (при выполнении соответствующих законов
сохранения) [51. Ниже приведен предложенный впервые Гелл-Маном и
Глэшоу [7] метод восстановления структуры лагранжиана, описывающего
взаимодействующие векторные поля, по уравнениям поля и вытекающим из
них дополнительным условиям (см. также [6, 9]).
Пусть имеется некоторое число г векторных полей А ? (а - 1, ..., г).
Наиболее общий лагранжиан, описывающий возможные взаимо
71
действия с безразмерными константами связи, можно записать в виде
где = д^А* - д^А1\ ai]k, $i]hl, yijh, 8im - вещественные (для обеспечения
эрмитовости лагранжиана) числовые коэффициенты - константы связи.
Симметричную эрмитову матрицу \\т2аь\\ естественно считать
диагонализуемой и обладающей неотрицательными собственными
значениями. Заранее не предполагается, что она кратна единичной, поэтому
у разных полей массы могут быть как одинаковые, так и разные. Свободная
часть лагранжиана (6.3) (т. е. та, в которую входят поля Л? только с одним и
тем же латинским индексом) с самого начала записана в таком виде, чтобы в
отсутствие взаимодействия (т. е. при а = Р = у = б = 0; || (т2) аЬ|| = = т2/, где /
- единичная матрица) каждое поле удовлетворяло обычному уравнению для
векторного поля со спином 1:
Отметим также, что члены с у и б учитывают возможность несохра- нения
четности. Из самих определений нелинейных членов следуют свойства
8abcd полностью антисимметричны по всем индексам, как и дискри-
минантный тензор е^хя,. С учетом этих свойств из лагранжиана (6.3)
получаем уравнения движения:
Возьмем 4-мерную дивергенцию от этого уравнения, исключим в полученном
соотношении 04? с помощью уравнения (6.7) и потребуем, чтобы
выполнялась альтернатива (5.28). Для этого необходимо и достаточно, чтобы
каждая комбинация членов одинаковой структуры тождественно равнялась
нулю. Отсюда найдем свойства коэффициентов ааЬс, РайЫ, уаЪс и 8аЬЫ.
Необходимость следует из того, что в противном случае нельзя было бы
