Калибровочные поля - Коноплева Н.П.
Скачать (прямая ссылка):
стандартными геометрическими объектами. Это позволяет применить
мощные и хорошо разработанные методы геометрии, алгебры и топологии
для изучения свойств решений классических уравнений движения и поля,
которые нередко бывают нелинейными. Найденное пространство часто
рассматривается как формально-математическое конфигурационное
пространство.
Более глубокий подход к геометризации взаимодействий связан с
работами Пуанкаре [1] и Эйнштейна [2], где свойства пространства-
времени определялись через свойства приборов и процедур измерения (см.
гл. I). Развивая эти идеи, можно показать, что геометризация какого-либо
взаимодействия означает переход к таким системам отсчета (или приборам),
которые движутся в соответствующем поле бессиловым образом. Назовем
такие системы отсчета инерциальными относительно данного
взаимодействия. Если в такой системе отсчета можно указать способ
измерения координат изучаемых объектов, не изменяющий состояния
инерциального движения системы отсчета, то оказывается возможным
построить пространство отсчета, связанное с данной системой отсчета.
Множество построенных таким образом пространств отсчета, вообще
говоря, не образует какого-либо единого пространства-времени. Это
проявляется в том, что в одной из инерциальных систем отсчета другие
инерциальные системы отсчета могут выглядеть как движущиеся
неинерциально. Для того чтобы учесть и описать такую возможность, в
геометрических теориях предполагается, что существует некое единое
пространство-время, в котором траектории всех инерциальных систем
отсчета являются геодезическими. Тогда изменение относительного
расстояния между инерциальными системами отсчета можно описывать
уравнением отклонения геодезических. Отличие от нуля второй производной
отклонения геодезических указывает на существование реального
физического поля, в котором бессиловым образом движутся инерциальные
системы отсчета. Это физическое поле описывается в терминах кривизны
или кручения пространства-времени, т. е. проявляется в неголоном-
93
ности его. Как известно, именно так обстоит дело в теории тяготения
Эйнштейна.
Концепция Эйнштейна допускает обобщение на произвольные виды
взаимодействий. При этом пространство-время обобщается так, что
свойства локально-инерциальных систем отсчета описываются не только
пространственно-временными, но и внутренними симметриями. Система
геодезических 4-мерного риманова пространства заменяется более
сложными бессиловыми конфигурациями - геодезическими в расслоенном
пространстве над У4. Общий принцип построения пространств, в которых
данное взаимодействие или несколько взаимодействий исчезают, позволяет
сделать содержание классической теории любого калибровочного поля чисто
геометрическим и свести его к теории связностей главного расслоенного
пространства над У4. Это дает возможность с единой точки зрения
рассматривать целый ряд на первый взгляд не связанных между собой
теорий. В данном случае речь идет о поисках единой точки зрения на
сильные, электромагнитные, слабые и гравитационные взаимодействия [3,
4].
Расслоенное пространство [5] проще всего можно представить себе как
совокупность двух пространств, связанных специальным отображением.
Именно: одно из двух пространств выбирается в качестве базы расслоенного
пространства и в каждую точку базы проецируется экземпляр второго
пространства (слой). Таким образом, расслоенное пространство можно
рассматривать и как обычное п- мерное пространство (базу), точки которого
заменены некоторыми m-мерными пространствами Fх со своей, вообще
говоря, геометрией. Предполагается, что в каждом слое Fx действует группа
Gr, не затрагивая базы. База представляет собой многообразие, инвариантное
относительно действия группы Gr. Простым примером расслоенного
пространства является многообразие траекторий какой-либо интразитивной
группы. В этом случае точки базы упорядочиваются по инвариантам
интразитивной группы. Слоем является траектория группы, на которой
группа действует транзитивно*. Рима- ново пространство ОТО тоже можно
рассматривать как расслоенное, если считать слоем касательное
пространство к Г4, т. е. использовать касательное расслоение. Благодаря
этому гравитация не только как физическое поле в плоском пространстве, но
и в геометрической трактовке становится в один ряд с другими полями.
Геометрический подход позволяет строить классическую теорию всех
калибровочных полей по единому принципу, изменяя только Gr при
переходе от одного вида взаимодействий к другому. Если каждому виду
взаимодействий поставить в соответствие свою группу симметрии
(локальную калибровочную группу), то можно постро
* Транзитивность означает, что преобразованиями, принадлежащими данной
группе, любую точку пространства можно перевести в любую другую.
Интразитивность означает отсутствие такой возможности, если, например, группа
оставляет некоторые точки неподвижными (центр вращения).
