Калибровочные поля - Коноплева Н.П.
Скачать (прямая ссылка):
способа сопоставления величин в разных точках Vit т. е. от выбора
коэффициентов связности. От этой неоднозначности можно избавиться, но
тогда придется пересмотреть набор интегральных характеристик, который
можно получить из дифференциального закона сохранения тензора энергии
- импульса в ОТО.
Дело в том, что интегрирование в римановом пространстве однозначно
определено только для скаляров. Поскольку элемент объема представляет
собой полностью антисимметричное произведение дифференциалов
координат, скаляр под знаком интеграла можно получить только при
свертывании элемента объема с антисимметричными тензорами.
Интегрирование симметричных тензоров ранга п ^ 2, таким образом,
остается неопределенным. Один из возможных путей однозначного
интегрирования симметричных тензоров - интегрирование с вектором.
Рассмотрим формулу Грина в римановом пространстве:
где Nm - вектор нормали; e(N) - индикатор вектора Nm\ d*v, d3v -
инвариантные элементы объема. Для симметричного тензора второго ранга
Тш формула, аналогичная формуле (8.18), может быть получена при помощи
дополнительного вектора
Из формулы (8.19) видно, что интегральный закон сохранения для
симметричного тензора имеет смысл только вдоль определенных на-
правлений, а именно вдоль траекторий векторного поля kk. Еслири- маново
пространство не допускает существования какого-либо векторного поля (что
в общем случае возможно), то нельзя' найти и интегральные законы
сохранения в этом пространстве. Правда, для псев- дориманова
пространства, имеющего метрику с сигнатурой Минковс- кого, это
ограничение несущественно, так как условие существования такой метрики
совпадает с условием существования на многообразии непрерывного поля
направлений. Таким образом, в пространствах ОТО всегда существует
некоторое векторное поле и, следова
(8.18)
J (TlkXh).,td*v = | 7f,M4i + J Tlk %i- k dH).
(8.19)
88
тельно, всегда можно построить интегральные сохраняющиеся величины
(хотя бы одну). При этом свойства сохраняющейся интегральной величины
определяются характером векторного поля Поэтому интегральные
сохраняющиеся величины, даже если они получены интегрированием
дифференциального закона сохранения тензора энергии - импульса, могут
не образовывать вектора энергии - импульса, а иметь совсем другой смысл.
Понятие 4-мерного импульса (вектора энергии - импульса) можно ввести
лишь в специальном случае, когда имеется четыре коммутирующих между
собой векторных поля, компоненты которых приводятся к виду Kk = = 6*.
В качестве примера рассмотрим скалярные частицы в пространстве с
метрикой де Ситтера. Для скалярного поля все сохраняющиеся
токи имеют вид [см. формулу (4.8)] Ja = 5а, где 5а определя
ется преобразованиями координат: бх^1 = 5а еа. Пусть Хк определяет группу
движений пространства-времени, т. е. является одним из векторов
Киллинга: %h = 5аь> причем 5a(k-, о = 0. Тогда соотношение (8.19)
принимает вид, напоминающий формулу (8.18):
Г т!Ч 5hdlv = $ Т* 5ft е (АО АО d3 у. (8.20)
J a J а
В частном случае плоского пространства 5а имеет вид:
1) для сдвигов 5(Ь = 2) для вращений 5ы = Т[Х!, где L* =
(in) (in)
- &ngn - бtgni-матрица лоренцевых вращений. Из формулы
(8.20) в первом случае получаем
J T'Td^v = Ф e(N)Nidsv. (8.21)
Если выполняется ковариантный закон сохранения T-i) = 0, то $
Ti(k'>e(N)Nidsv = 0. Отсюда обычно при интегрировании по бесконечно
удаленным поверхностям, где Tik обращается в нуль, получают
интегральный закон сохранения 4-мерного импульса Р1:
pa> = | T^°s{N)N0d3v. (8.22)
Заметим, что векторный индекс у на самом деле является групповым
значком. Им нумеровались векторы Киллинга, соответствующие сдвигам.
Поэтому он поставлен в скобки.
В случае вращений плоского пространства формула (8.20) дает
f 7f,Lkn xnd4o = f (Tik Lhn x"); i div Г T" Lki d* v =
J (pq) J (pq) - (P?)
*=<?T'kLhnxnB{N)Nldtv. (8.23)
J (pq)
89
Если тензор Tik симметричен, отсюда получим закон сохранения
В пространстве постоянной кривизны (пространстве де Ситтера) в
стереографических координатах элемент длины имеет вид -dsl = = ф Чх'\
Здесь ф = [1 + (г2 - xo)/4i?2]-1, где г2 = (х1)2 + + (х2)2 + (х3)2. Группа де
Ситтера изоморфна группе вращений О (5). Ее генераторы можно
представить в виде
где Pk = -idldxk. Таким образом, только в пределе плоского пространства
(R оо) оператор 4-мерного импульса Пг приобретает смысл оператора сдвига
по координатам. В искривленном пространстве "импульс" всегда смешан с
"моментом". Чтобы этого избежать, нужно было бы выбрать в группе
движений четыре коммутирующих между собой оператора и назвать их
операторами 4-мерного импульса. Однако это невозможно, так как группа де
Ситтера проста и имеет ранг 2. В результате 4-мерный импульс и полный
момент системы становятся компонентами 5-мерного полного момента
системы.
Выпишем интегральные сохраняющиеся величины, предполагая, как
обычно, что на пространственной бесконечности Tik = 0. Для компонент 4-
