Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Коноплева Н.П. -> "Калибровочные поля" -> 39

Калибровочные поля - Коноплева Н.П.

Коноплева Н.П., Попов В.Н. Калибровочные поля — Москва, 1972. — 240 c.
Скачать (прямая ссылка): kalibrovochniepolya1972.pdf
Предыдущая << 1 .. 33 34 35 36 37 38 < 39 > 40 41 42 43 44 45 .. 105 >> Следующая

потенциала в этой точке: V (ф) = (р/2)ф2, где р. = (d2V/dф2)ф = о> >* 0.
Уравнение Эйлера для Еф вблизи ф = 0 принимает вид
? ф ¦- рф = 0 или ф
+ рф - Аф = 0. Решения этого уравнения имеют вид плоских волн ф ~ exp (±
где волновой вектор
кц = (k0, к) удовлетворяет соотношению /еД = р или k% = к2 + р.
Если V (ф) имеет вид лагранжиана Хиггса
lx= V (Ф) = - (р/2)ф2 + (Р/4)ф4,
его экстремумы определяются решениями уравнения Эйлера 8Lx/8ф =
-рф + Рф3 = +Рф (ф2 - р/Р) = 0,
Ф1 = 0, ф2 = il^p/P- Из них ф2 является локальным максимумом, и теория в
окрестности ф = 0 неустойчива. Два локальных минимума достигаются при
ф = г) = ±1Ур/р. Вблизи этих решений у (ф) = - pif/4 + р (ф - т])3, т2 =
(даР7дф2)ф==Т1 = 2р > 0, где т - масса квантов поля Аф = (ф - т]).
При переходе к квантовой картине значения классического поля,
обеспечивающие минимум потенциальной энергии, становятся вакуумными
средними этого поля. Таким образом, в нелинейных теориях возможны
различные вакуумы.
В теориях, инвариантных относительно локальной калибровочной
группы, множество вакуумов определяется фактор-группой G/Н, где Н -
группа стабильности вакуума, переводящая данный вакуум в себя.
Классические траектории, связывающие различные вакуумы и
удовлетворяющие условию S = const, играют важную роль в квантовой
теории поля и теории фазовых перехо
79


дов. Флуктуации поля в окрестности топологически нетривиальных
решений приводят к спектру аномально больших масс.
Применим метод изопериметрической задачи для того, чтобы получить
массу калибровочных полей, не используя дополнительных скалярных
полей Хиггса. В механике, как известно, группой симметрии теории
называется группа, оставляющая неизменным потенциал, а массой -
инвариант этой группы.
Пусть калибровочное поле описывается интегралом действия Si = J
A^Aadv и, кроме того, наложено интегральное дополнительное условие S =
-1/.2[F^F^dv = const. Будем рассматривать теорию в окрестности
экстремума Sx. Соответствующие Sx уравнения Эйлера имеют вид: Л? = 0.
Будем варьировать теперь интеграл
Si = I (fUakXAZAlAl + m2gabA"Afodv.
Уравнения Эйлера для Sx примут вид
2fUakiA^Ai + m2gabA" = 0
или
Al (m*gab - 2faldfcbKAlv) = 0. (7.17)
Решение уравнения (7.17) Л? = 0 дает локальный максимум Sx. Второе
решение получим из условия 2fald fcdbAcvAv - m2gab, откуда, свертывая с
gab, найдем 4бгсЛуЛ (, = rtri1. Этому соотношению удовлетворяет решение,
соответствующее спонтанному нарушению симметрии. Для полупростых
групп gab = -26аЬ.
Если теперь систему координат выбрать так, чтобы Л? = 0, где i = 1, 2, 3
и Л g = ф° - мультиплет скалярных полей, получим
= гт2/4. (7.18)
Для однопараметрической абелевой группы ф2 = т214, как и в других
случаях спонтанного нарушения симметрии, если положить Si = | (Л"ЛuЛ УЛ
v - т2Л"ЛAdv. Для группы SU (2) соотношение
(7.18) переходит в (ф")2 = Зт2/4.
Поиски решений уравнений поля вблизи некоторого конкретного
решения эквивалентны переходу от задачи о движении одного пробного
тела во внешнем поле к задаче об относительном движении двух тел, одно
из которых считается опорным. Условие типа 5 = = const позволяет
фиксировать опорную траекторию.
Законы сохранения в изопериметрических задачах. Соотношение (7.4)
дает законы сохранения для изопериметрической задачи в виде | Jfda^ = 0.
Здесь
Jf = aidLildutV,=--JV' + 'kal dLjdu^, (7.19)
80


где J? = д. dL/du, ц.
0
Нарушение симметрии и сохранение токов. Соотношение (7.19)
показывает, как изменяется вид сохраняющихся токов при наложении
дополнительных условий типа изопериметрической задачи. Именно, токи не
изменяются, если Ьг не содержит производных от и (токи "не чувствуют"
потенциальной энергии). В частности, из
(7.19) следует, что переход к массивным калибровочным полям [условия
типа (7.8) ] не изменяет вида сохраняющихся токов. Однако учет тождеств
Нетер приводит к новому соотношению между токами и полями.
Действительно, в этом случае по-прежнему
Jf = = bv {bL/bu) - JV-Xa, (dLJdU'n).
о о
На экстремалях изопериметрической задачи bL2/bu = 0 получаем
J? - Xat {dLJdu,") = -Xbf (bLJbu). (7.20)
Для массивных калибровочных полей соотношение (7.20) приводит к
пропорциональности тока и поля: J? = m2Af. Таким образом,
пропорциональность тока и поля можно понимать (как и появление массы у
калибровочного поля) как следствие неявного введения дополнительного
условия (7.8) и превращения обычной вариационной задачи для
калибровочных полей в изопериметрическую.
Заметим в заключение, что дополнительные условия (7.2), как и
инвариантность 52 относительно Gxr, выполняются только на экстремалях
bLJbu = 0, т. е. являются следствием уравнений поля, в то время как
инвариантность 5 определяется его формой и не зависит от уравнений поля.
Возможно, что это обстоятельство является аргументом в пользу принятия
принципа действия в следующей форме: варьируется та часть лагранжиана,
которая нарушает симметрию (взаимодействие), а инвариантная часть
Предыдущая << 1 .. 33 34 35 36 37 38 < 39 > 40 41 42 43 44 45 .. 105 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed