Калибровочные поля - Коноплева Н.П.
Скачать (прямая ссылка):
входят в лагранжиан только через комбинации r^v, составленные, подобно
символам Кристоффеля, из h^v и производных от h
Варьирование лагранжиана (8.13) по приводит в качестве
уравнений Эйлера к уравнениям Эйнштейна [5, 9]:
R\i\ ¦ 1/ih^l'VR = 0.
Использование понятия производных Ли на произвольных многообразиях
делает очень прозрачным смысл полученных формул. В самом деле, вид
инвариантного лагранжиана определяется только видом вариаций полевых
переменных. Строение производной Ли зависит только от тензорной
размерности функций и, следовательно, одинаково для всех симметричных
тензоров второго ранга и для всех геометрий. Производные Ли порождаются
всегда группой, причем бесконечной, описывающей отображение на себя
произвольного многообразия. Эта группа внешне совпадает с
общековариантными преобразованиями (или "локальной группой сдвигов")
и поэтому приводит к тем же результатам, что и риманова геометрия, в
смысле структуры дифференциальных инвариантов.
Тождества Нетер, соответствующие преобразованиям (8.3), имеют вид:
У2 (dL/dhuv) (d%hflv - д- = dv (dL/dh^h^
или
Vv (pLl$h\iv) = (8.14)
где 6L/6frnv = dL/dh^ - dTdL/d(dzhnv), L = Y ~ hL. Ковариант- ную
производную здесь следует понимать формально в смысле коэффициентов
связности, составленных из h^v и его производных.
Выражение (8.14) представляет собой сильный закон сохранения,
справедливый независимо от конкретного вида лагранжиана или уравнений
Эйлера. В частности, из него следует известный кова- риантный закон
сохранения (4.13)
(Я!" _ i/2");v = о. (8Л5)
В общей теории относительности тождество (8.15) выводится обычно как
следствие тождеств Бианки для тензора кривизны Рима- на. Здесь же оно
является записью тождеств Нетер и справедливо для любого симметричного
тензорного поля h^v, например тензора упругих деформаций среды.
86
Пусть теперь Ы/bh^ = 7^v, где 7^v - симметричный тензор,
описывающий источники поля. Тогда из (8.14) следует ковариант- ный закон
сохранения для 7>v : T^v;v = 0.
Таким образом, ковариантный, тождественно выполняющийся закон
сохранения энергии в ОТО представляет собой сильный закон сохранения,
вытекающий из тождеств Нетер для полевых уравнений и являющийся
следствием инвариантности теории относительно бесконечной группы G0о4.
Для того чтобы получить обычный закон сохранения (в смысле обычной
дивергенции) в соответствии с общим правилом для всех калибровочных
полей, нужно ввести псевдоток (в данном случае - псевдотензор ^v) самого
поля. Суммарный тензор будет сохраняться в обычном смысле: dv (T^v + ^v)
= 0. Однако такая процедура не приводит к правильным интегральным
законам сохранения.
Тождества (8.14) позволяют определить строение дополнительных
условий на уравнения поля. Например, если уравнения поля имеют вид
бЬ/бкцч = т2 (/г^ + фцчНр), то из (8.14) получим [4, 51
/H2vv(V + яКЛ) = 0. (8-16)
Если Нцу отождествляется с метрическим тензором g^, все ко-
вариантные производные приобретают обычный смысл. Для метрического
тензора g^v условия (8.16) можно упростить, выбирая локально
геодезическую систему координат, что приводит к условиям Гильберта-
Лоренца:
'rt2dv(gnv+<?6nv gp) = 0. (8.17)
Можно было бы идти обратным путем, т. е. постулировать дополнительные
условия (8.17) и тождества, связывающие дополнительные условия с
уравнениями поля в виде
V v (bL/bh^v - m2 (Vv + q^axK)) = 0.
Тогда мы нашли бы, что преобразования h^, порождающие такие тождества,
суть (8.3) , а уравнения поля представляют собой уравнения Эйнштейна [9].
Интегральные законы сохранения в ОТО. Часто обсуждение вопроса о
построении интегрального закона сохранения энергии в ОТО начинают с
замечания о том, что дифференциальный закон сохранения энергии в
пространстве Эйнштейна Ё4 имеет необычную структуру: нулю равняется не
обычная, а ковариантная дивергенция тензора энергии- импульса. Чтобы
"исправить" дифференциальный закон сохранения, вводят различные
псевдотензоры энергии - импульса гравитационного поля, которые в сумме
с тензором энергии- импульса материи приводят к обычному
дифференциальному закону сохранения энергии. Но если речь идет не о
плоском, а о римано- вом пространстве, при интегрировании такого
дифференциального
87
закона сохранения возникает проблема неоднозначности. Неоднозначность
появляется по двум'причинам: 1) из-за нековариантности псевдотензоров и
обычного закона сохранения (7'*iV + t,iv) = 0; 2) вследствие неоднозначности
интеграла от симметричного тензора в римановом пространстве. В случае
векторных сохраняющихся токов неоднозначности нет, так как ковариантная
производная от вектора (точнее, от векторной плотности) совпадает с
обычной, а интеграл от вектора по 3-мерной гиперповерхности 21 есть
интеграл от скаляра и поэтому однозначен. Интегральные сохраняющиеся ве-
личины (энергия, масса, импульс) в ОТО зависят от выбора системы
координат. Сам процесс интегрирования также зависит от этого выбора и
